试题分析:(1)一般地,曲线 在点 处的切线方程为: .注意,此题是求过原点的切线,而不是求 在原点处切线方程,而该曲线又过原点,故有原点为切点和原点不为切点两种情况.当原点不为切点时需把切点的坐标设出来.(2)令 ,则问题转化为 对 恒成立.注意到 ,所以如果 在 单调增,则必有 对 恒成立.下面就通过导数研究 的单调性.(3)不等式 可变形为: .为了证这个不等式,首先证 ;而证这个不等式可利用导数证明 .故令 ,然后利用导数求 在区间 上范围即可. 试题解析:(1) .若切点为原点,由 知切线方程为 ; 若切点不是原点,设切点为 ,由于 ,故由切线过原点知 ,在 内有唯一的根 . 又 ,故切线方程为 . 综上所述,所求切线有两条,方程分别为 和 . (2)令 ,则 , ,显然有 ,且 的导函数为:
. 若 ,则 ,由 知 对 恒成立,从而对 恒有 ,即 在 单调增,从而 对 恒成立,从而 在 单调增, 对 恒成立. 若 ,则 ,由 知存在 ,使得 对 恒成立,即 对 恒成立,再由 知存在 ,使得 对 恒成立,再由 便知 不能对 恒成立. 综上所述,所求 的最大值是 . (3)当 时,令 ,则 ,故当 时,恒有 ,即 在 单调递减,故 ,对 恒成立.又 ,故 ,即对 恒有:
, 在此不等式中依次取 ,得:
,,
,
,
, …………………………
, 将以上不等式相加得: ,即 . |