设函数(1)当时,求的最大值;(2)令,(),其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立,求实数的取值范围;(3)当,,方程有唯一实数解,求正数的值.

设函数(1)当时,求的最大值;(2)令,(),其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立,求实数的取值范围;(3)当,,方程有唯一实数解,求正数的值.

题型:不详难度:来源:
设函数(1)当时,求的最大值;(2)令,(),其图象上任意一点处切线的斜率恒成立,求实数的取值范围;(3)当,方程有唯一实数解,求正数的值.
答案
(1)的极大值为,此即为最大值;(2);(3)
解析

试题分析:(1)依题意,知的定义域为(0,+∞),当时,
(2′)令=0,  解得.(∵
因为当时,,此时单调递增;当时,,此时单调递减。所以的极大值为,此即为最大值          4分
(2),则有,在上恒成立,
所以(8′)当时,取得最大值,所以          8分
(3)因为方程有唯一实数解,所以有唯一实数解,
,则.令
因为,所以(舍去),
时,在(0,)上单调递减,当时,在(,+∞)单调递增   当时,=0,取最小值 则所以,因为,所以(*)设函数,因为当时,是增函数,所以至多有一解.因为,所以方程(*)的解为,即,解得.         12分
点评:典型题,切线的斜率,等于在切点的导函数值。利用导数研究函数的极值,一般遵循“求导数、求驻点、研究导数的正负、确定极值”,利用“表解法”,清晰易懂。不等式恒成立问题,往往通过构造函数,通过研究函数的最值确定参数的范围。
举一反三
函数的导数是(   )
A.B.C.D.

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已知函数的值为 (    )
A.-20B.-10C.10D.20

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曲线在P点处的切线平行于直线,则此切线方程是(    )
A.B.
C.D.

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三次函数当是有极大值4,当是有极小值0,且函数过原点,则此函数是(     )
A.B.
C.D.

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设函数的最大值为3,则的图象的一条对称轴的方程是    (     )
A.B.
C.D.

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