试题分析:(1)设,则 1分 由,时, 2分 在区间单调递减,在区间单调递增, 3分 所以取得最小值为,即 4分 (2)假设曲线有公切线,切点分别为和 5分 因为,所以分别以和为切线的切线方程为 6分 令即 8分 令所以由得显然,当时,,当时,,所以, 9分 所以方程无解,故二者没有公切线。 10分 (3)由(1)得对任意的x>0都成立, 11分 ln(1 + 1×2) + ln(1 + 2×3) + …+ln[1 + n (n + 1)]> =令=2012, 13分 则ln(1 + 1×2) + ln(1 + 2×3) + …+ln(1 + 2012×2013) >2×2012-3=4021, 所以(1 + 1×2) (1 + 2×3) ……(1 +2012×2013) 14分 点评:典型题,本题属于导数应用中的基本问题,通过研究函数的单调性,明确了极值情况。涉及比较大小问题,通过构造函数,转化成了研究函数的单调性及最值。涉及对数函数,要特别注意函数的定义域。 |