已知函数为常数,e是自然对数的底数.(Ⅰ)当时,证明恒成立;(Ⅱ)若,且对于任意,恒成立,试确定实数的取值范围.
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已知函数为常数,e是自然对数的底数.(Ⅰ)当时,证明恒成立;(Ⅱ)若,且对于任意,恒成立,试确定实数的取值范围.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
为常数,e是自然对数的底数.
(Ⅰ)当
时,证明
恒成立;
(Ⅱ)若
,且对于任意
,
恒成立,试确定实数
的取值范围.
答案
(Ⅰ)确定函数有最小值
,所以
恒成立.
(Ⅱ)实数
的取值范围是
.
解析
试题分析:(Ⅰ)由
得
,所以
.
由
得
,故
的单调递增区间是
,
由
得
,故
的单调递减区间是
.
所以函数有最小值
,所以
恒成立.
(Ⅱ)由
可知
是偶函数.
于是
对任意
成立等价于
对任意
成立.
由
得
.
①当
时,
.
此时
在
上单调递增.
故
,符合题意.
②当
时,
.
当
变化时
的变化情况如下表:
单调递减
极小值
单调递增
由此可得,在
上,
.
依题意,
,又
.
综合①,②得,实数
的取值范围是
.
点评:典型题,本题属于导数应用中的基本问题,通过研究函数的单调性,明确了极值情况。涉及不等式恒成立问题,转化成了研究函数的单调性及最值,得到求证不等式。
举一反三
已知曲线
上一点
,则点
处的切线斜率等于
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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的导函数
的图象如图所示,则函数
的图象最有可能是下图中的
题型:不详
难度:
|
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已知函数
是定义在
上的可导函数,且
,
,则不等式
的解集为
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
在区间
上的最大值与最小值分别为
,则
.
题型:不详
难度:
|
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设
,若函数
有大于零的极值点,则
的取值范围是
题型:不详
难度:
|
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