已知函数(I)当a=18时,求函数的单调区间;(II)求函数在区间上的最小值.
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已知函数(I)当a=18时,求函数的单调区间;(II)求函数在区间上的最小值.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
(I)当a=18时,求函数
的单调区间;
(II)求函数
在区间
上的最小值.
答案
(1)函数f(x)的单调递增区间是(4,+∞),单调递减区间是(0.4).
(2)e
2
-4e+2-a.
解析
试题分析:解:(1)当a=18时,f(x)=x
2
-4x-16lnx(x>0),所以f"(x)=2x-4-
,由f"(x)>0,解得x>4或一2<x<0,注意到x>0,所以函数f(x)的单调递增区间是(4,+∞).由f"(x)<0,解得0<x<4或x<-2.注意到x>0,所以函数f(x)的单调递减区间是(0,4).综上所述,函数f(x)的单调递增区间是(4,+∞),单调递减区间是(0.4).(2)当x∈[e,e
2
]时,f(x)=x
2
-4x+(2-x)lnx, f"(x)=2x-4+
设g(x)=2x
2
-4x+2-a.当a<0时,有△=16-4×2(2-a)=8a<0,此时g(x)>0恒成立,所以f"(x)>0,f(x)在[e,e
2
]上单调递增,所以f(x)
min
=f(e)=e
2
-4e+2-a.当a>0时,△=16-4×2(2-a)=8a>0,令f"(x)>0,即2x
2
-4x+2-a>0,解得x>1+
或x<1-
令f"(x)<0,即2x
2
-4x+2-a<0,解得1-
<x<
.①当
≥e
2
,即a≥2(e2-1)2时,f(x)在区间[e,e
2
]上单调递减,所以f(x)
min
=f(e
2
)=e
4
-4e2+4-2a;②当e<
<e
2
,即2(e-1)
2
<a<2(e
2
-1)
2
时,在区间[e,
]上单调递减,在区间[
,e
2
]上单调递增,所以f(x)
min
=f(
)=
a-3+(2-a)ln(
);③当
≤e,即0<a≤2(e-1)
2
时,以f(x)在区间[e,e
2
]上单调递增,所以f(x)
min
=f(e)=e
2
-4e+2-a.综上所述,当a≥2(e
2
-1)
2
时,f(x)
min
=e
4
-4e
2
+4-2a;当2(e-1)
2
<a<2(e
2
-1)
2
时,f(x)
min
=
-3+(2-a)ln(
);当a<0或0<a≤2(e-1)
2
时,f(x)
min
=e
2
-4e+2-a.
点评:本题考查函数的单调区间的求法,考查函数的最小值的求法,综合性强,难度大,计算繁琐.解题时要认真审题,注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用。
举一反三
设函数
的导函数为
且
,则
展开式中各项的系数和为
题型:不详
难度:
|
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曲线
上点P 处切线平行与
轴,则P点坐标为( )
A.(-
,
)
B.(
,-
)
C.(-
,-
)
D.(
,
)
题型:不详
难度:
|
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函数
f
(
x
)=
x
(
x
-
c
)
2
在
x
=2处有极大值,则常数
c
的值为________ .
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,
(1)若函数
在
处的切线方程为
,求实数
,
的值;
(2)若
在其定义域内单调递增,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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计算
.
题型:不详
难度:
|
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