解:(Ⅰ)由f(x)=2f(x+1)→f(x)= (x-1),x∈[n,n+1],则(x-n)∈[0,1] →f(x-n)= (x-n)2(1+n-x). f(x)= f(x-1)= f(x-2)=…= f(x-n)= (x-n)2(1+n-x). (n=0也适用). ………………4分 (Ⅱ)f![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191017/20191017180432-40630.gif) (x)= ,由f (x)=0得x=n或x=n+![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191017/20191017180433-89449.gif)
x
| n
| (n,n+ )
| n+![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191017/20191017180433-89449.gif)
| (n+ ,n+1)
| n+1
| f (x)
|
| +
| 0
| -
| +
|
| 0
| ↗
| 极大
| ↘
| 0
| f(x)的极大值为f(x)的最大值, , 又f(x)≥f(n)=f(n+1)=0,∴|f(x)|=f(x)≤ (x∈[n,n+1]).…8分 (Ⅲ)y=f(x),x∈[0,+∞ 即为y=f(x),x∈[n,n+1],f (x)="-1." 本题转化为方程f![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191017/20191017180431-63920.gif) (x)=-1在[n,n+1]上有解问题 即方程 在[n,n+1]内是否有解. ……11分 令g(x)= , 对轴称x=n + ∈[n,n+1],![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191017/20191017180432-40630.gif) 又△=…= ,g(n)= ,g(n+1)= , ①当0≤n≤2时,g(n+1)≥0,∴方程g(x)=0在区间[0,1],[1,2],[2,3]上分别有一解,即存在三个点P; ②n≥3时,g(n+1)<0,方程g(x)=0在[n,n+1]上无解,即不存在这样点P. 综上所述:满足条件的点P有三个. …………………………16分 |