二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足=0,其中m>0,求证:(1)pf()<0;(2)方程f(x)=0在(0,1)内恒有解.

二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足=0,其中m>0,求证:(1)pf()<0;(2)方程f(x)=0在(0,1)内恒有解.

题型:不详难度:来源:
二次函数f(x)=px2+qx+r中实数pqr满足=0,其中m>0,求证:
(1)pf()<0;
(2)方程f(x)=0在(0,1)内恒有解.
答案
证明略
解析
(1)

,由于f(x)是二次函数,故p≠0,又m>0,所以,pf()<0.
(2)由题意,得f(0)=r,f(1)=p+q+r
①当p<0时,由(1)知f()<0
r>0,则f(0)>0,又f()<0,所以f(x)=0在(0,)内有解;
r≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(-)+r=>0,
f()<0,所以f(x)=0在(,1)内有解.
②当p<0时同理可证.
举一反三
在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x)。某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台的收入函数为(单位:元),其成本函数为(单位:元),利润是收入与成本之差。
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);
(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相等的最大值?
(3)你认为本题中边际利润函数MP(x)取最大值的实际意义是什么?
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如图,开始时,桶1中有a L水,t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y1=aent,那么桶2中水就是y2=aaent,假设过5分钟时,桶1和桶2的水相等,则再过_________分钟桶1中的水只有.
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x1x2为方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根,当m=_________时,x12+x22有最小值_________.
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某企业生产一种产品时,固定成本为5000元,而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元,市场对此商品年需求量为500台,销售的收入函数为R(x)=5xx2(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位: 百台)
(1)把利润表示为年产量的函数;
(2)年产量多少时,企业所得的利润最大?
(3)年产量多少时,企业才不亏本?
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已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1]
(1)若f(x)的定义域为(-∞,+∞),求实数a的取值范围;
(2)若f(x)的值域为(-∞,+∞),求实数a的取值范围 
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