二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足=0,其中m>0,求证:(1)pf()<0;(2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解.

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二次函数f(x)=px²+qx+r中实数p、q、r满足

=0,其中m>0,求证:
(1)pf(

)<0;
(2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解.

答案

证明略

解析

(1)

,由于f(x)是二次函数，故p≠0,又m>0,所以，pf(

)＜0.
(2)由题意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r
①当p＜0时，由(1）知f(

)＜0
若r>0,则f(0)>0,又f(

)＜0,所以f(x)=0在(0，

)内有解;
若r≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－

)+r=

>0,
又f(

)＜0,所以f(x)=0在(

,1)内有解.
②当p＜0时同理可证.

举一反三

在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x)。某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台的收入函数为

（单位：元），其成本函数为

（单位：元），利润是收入与成本之差。
（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；
（2）利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相等的最大值？
（3）你认为本题中边际利润函数MP(x)取最大值的实际意义是什么？

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如图，开始时，桶1中有a L水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y₁=ae^－^nt,那么桶2中水就是y₂=a－ae^－^nt,假设过5分钟时，桶1和桶2的水相等，则再过_________分钟桶1中的水只有

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设x₁、x₂为方程4x²－4mx+m+2=0的两个实根，当m=_________时，x₁²+x₂²有最小值_________.

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某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x－

x²(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位: 百台)
(1)把利润表示为年产量的函数；
(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？
(3)年产量多少时，企业才不亏本？

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已知函数f(x)=lg［(a²－1)x²+(a+1)x+1］
(1)若f(x)的定义域为(－∞,+∞)，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为(－∞,+∞),求实数a的取值范围

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