已知定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d,∈R)的图象关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值-25.(Ⅰ)求f(x)的解析式;

已知定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d,∈R)的图象关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值-25.(Ⅰ)求f(x)的解析式;

题型:邯郸二模难度:来源:
已知定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d,∈R)的图象关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值-
2
5

(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)当x∈[-1,1]时,图象上是否存在两点,使得在此两点处的切线互相垂直?证明你的结论.
答案
(I)因为图象关于原点对称,所以f(x)为奇函数,所以b=0,d=0;
所以f(x)=ax3+cx,因此f"(x)=3ax2+c
由题意得





f(1)=a+c=-
2
5
f′(1)=3a+c=0

解得 a=
1
5
,c=-
3
5

所以f(x)=
1
5
x 3-
3
5
x

(II)不存在.
证明:假设存在x1,x2,则f"(x1)•f"(x2)=-1
所以(x12-1)(x22-1)=-4
因为x1,x2∈[-1,1]所以x12-1,x22-1∈[-1,0]
因此(x12-1)(x22-1)≠-4
所以不存在.
举一反三
曲线y=
1
3
x3-2在点(1,-
5
3
)处切线的倾斜角为(  )
A.30°B.45°C.135°D.150°
题型:青州市模拟难度:| 查看答案
对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心.若f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+
1
6
x+1
,则该函数的对称中心为______,计算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)
=______.
题型:房山区二模难度:| 查看答案
在平面直角坐标系x o y中,点p( 0,1 )在曲线c:y=x3-x2-ax+b(a,b为实数)上,已知曲c在点p处
的切线方程为y=2x+1,则a+b=______.
题型:镇江模拟难度:| 查看答案
经过点F(0,1)且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M.点A、D在轨迹M上,且关于y轴对称,过线段AD(两端点除外)上的任意一点作直线,使直线与轨迹M在点D处的切线平行,设直线与轨迹M交于点B、C.
(1)求轨迹M的方程;
(2)证明:∠BAD=∠CAD;
(3)若点D到直线AB的距离等于


2
2
|AD|
,且△ABC的面积为20,求直线BC的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
设P为函数y=


x
(x+1)
图象上异于原点的动点,且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ,则θ的取值范围是______.
题型:江苏模拟难度:| 查看答案
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