经过点F(0,1)且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M.点A、D在轨迹M上,且关于y轴对称,过线段AD(两端点除外)上的任意一点作直线,使直线与轨迹M在点D

经过点F(0,1)且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M.点A、D在轨迹M上,且关于y轴对称,过线段AD(两端点除外)上的任意一点作直线,使直线与轨迹M在点D

题型:不详难度:来源:
经过点F(0,1)且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M.点A、D在轨迹M上,且关于y轴对称,过线段AD(两端点除外)上的任意一点作直线,使直线与轨迹M在点D处的切线平行,设直线与轨迹M交于点B、C.
(1)求轨迹M的方程;
(2)证明:∠BAD=∠CAD;
(3)若点D到直线AB的距离等于


2
2
|AD|
,且△ABC的面积为20,求直线BC的方程.
答案
(1)设动圆圆心为(x,y),依题意得,


x2+(y-1)2
=|y+1|,整理,得x2=4y.
所以轨迹M的方程为x2=4y.
(2)由(1)得x2=4y,即y=
1
4
x2
,则y′=
1
2
x

设点D(x0
1
4
x02
),由导数的几何意义知,直线的斜率为kBC=
1
2
x0

由题意知点A(-x0
1
4
x02
).设点C(x1
1
4
x12
),B(x2
1
4
x22
),
kBC=
1
4
x12-
1
4
x22
x1-x2
=
x1+x2
4
=
1
2
x0
,即x1+x2=2x0
因为kAC=
1
4
x12-
1
4
x02
x1+x0
=
x1-x0
4
,kAB=
1
4
x22-
1
4
x02
x2+x0
=
x2-x0
4

由于kAC+kAB=
x1-x0
4
+
x2-x0
4
=
(x1+x2)-2x0
4
=0,即kAC=-kAB
所以∠BAD=∠CAD;
(3)由点D到AB的距离等于


2
2
|AD|,可知∠BAD=45°,
不妨设点C在AD上方,即x2<x1,直线AB的方程为:y-
1
4
x02=-(x+x0).





y-
1
4
x02=-(x+x0)
x2=4y
,解得点B的坐标为(x0-4,
1
4
(x0-4)2
),
所以|AB|=


2
|(x0-4)-(-x0)|=2


2
|x0-2|.
由(2)知∠BAD=∠CAD=45°,同理可得|AC|=2


2
|x0+2|,
所以△ABC的面积S=
1
2
×2


2
|x0-2|×2


2|
x0+2|
=4|x02-4|=20,解得x0=±3,
当x0=3时,点B的坐标为(-1,
1
4
),kBC=
3
2

直线BC的方程为y-
1
4
=
3
2
(x+1),即6x-4y+7=0;
当x0=-3时,点B的坐标为(-7,
49
4
),kBC=-
3
2

直线BC的方程为y-
49
4
=-
3
2
(x+7),即6x+4y-7=0.
举一反三
设P为函数y=


x
(x+1)
图象上异于原点的动点,且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ,则θ的取值范围是______.
题型:江苏模拟难度:| 查看答案
设曲线y=x4+ax+b在x=1处的切线方程是y=x,则a=______,b=______.
题型:不详难度:| 查看答案
设函数f(x)=-
1
3
x3+x2+(m2-1)
x(x∈R),其中m>0.
(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值;
(3)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0,x1,x2,且x1<x2,若对任意的x∈[x1,x2],f(x)>f(1)恒成立,求m的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f′(x)>
1
3
,则f(x)-
x
3
-
2
3
>0
的解集为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数y=f(x)的图象如图,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(  )
A.f′(xA)>f′(xBB.f′(xA)<f′(xBC.f′(xA)=f′(xBD.不能确定
题型:不详难度:| 查看答案
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