(1)当m=1时,f(x)=-x6+xk,f′(x)=-xk+kx, 故f"(1)=-1+k=1,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1.(k分)
(k)f"(x)=-xk+kx+mk-1,令f"(x)=0,解得x=1-m或x=1+m. ∵m>0,所以1+m>1-m,当x变化时,f"(x),f(x)的变化情况如下表:
∴f(x)在(-∞,1-m),(1+m,+∞)内是减函数,在(1-m,1+m)内是增函数. 函数f(x)在x=1-m处取得极0值f(1-m),且f(1-m)=-m6+mk-, 函数f(x)在x=1+m处取得极图值f(1+m),且f(1+m)=m6+mk-.(6分)
(6)由题设,f(x)=x(-xk+x+mk-1)=-x(x-x1)(x-xk), ∴方程-xk+x+mk-1=0有两个相异的实根x1,xk, 故x1+xk=6,且△=1+(mk-1)>0,∵m>0 解得m>,(8分) ∵x1<xk,所以kxk>x1+xk=6, 故xk>>1.(10分) ①当x1≤1<xk时,f(1)=-(1-x1)(1-xk)≥0,而f(x1)=0,不符合题意, ②当1<x1<xk时,对任意的x∈[x1,xk],都有x>0,x-x1≥0,x-xk≤0, 则f(x)=-x(x-x1)(x-xk)≥0,又f(x1)=0,所以f(x)在[x1,xk]上的最0值为0, 于是对任意的x∈[x1,xk],f(x)>f(1)恒成立的充要条件是f(1)=mk-<0, 解得-<m<, ∵由上m>, 综上,m的取值范围是(,).(14分) |