对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实
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对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实
题型:房山区二模
难度:
来源:
对于三次函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x
0
,则称点(x
0
,f(x
0
))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心.若
f(x)=
1
3
x
3
-
1
2
x
2
+
1
6
x+1
,则该函数的对称中心为______,计算
f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)
=______.
答案
∵
f(x)=
1
3
x
3
-
1
2
x
2
+
1
6
x+1
,则 f′(x)=x
2
-x+
1
6
,f″(x)=2x-1,令f″(x)=2x-1=0,求得x=
1
2
,
故函数y=f(x)的“拐点”为(
1
2
,1).
由于函数的对称中心为(
1
2
,1),
∴f(x)+f(1-x)=2,
∴
f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)
=2×1006=2012,
故答案为 (
1
2
,1),2012.
举一反三
在平面直角坐标系x o y中,点p( 0,1 )在曲线c:y=x
3
-x
2
-ax+b(a,b为实数)上,已知曲c在点p处
的切线方程为y=2x+1,则a+b=______.
题型:镇江模拟
难度:
|
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经过点F(0,1)且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M.点A、D在轨迹M上,且关于y轴对称,过线段AD(两端点除外)上的任意一点作直线,使直线与轨迹M在点D处的切线平行,设直线与轨迹M交于点B、C.
(1)求轨迹M的方程;
(2)证明:∠BAD=∠CAD;
(3)若点D到直线AB的距离等于
2
2
|AD|
,且△ABC的面积为20,求直线BC的方程.
题型:不详
难度:
|
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设P为函数
y=
x
(x+1)
图象上异于原点的动点,且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ,则θ的取值范围是______.
题型:江苏模拟
难度:
|
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设曲线y=x
4
+ax+b在x=1处的切线方程是y=x,则a=______,b=______.
题型:不详
难度:
|
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设函数f(x)=-
1
3
x
3
+
x
2
+(
m
2
-1)
x(x∈R),其中m>0.
(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值;
(3)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0,x
1
,x
2
,且x
1
<x
2
,若对任意的x∈[x
1
,x
2
],f(x)>f(1)恒成立,求m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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