已知f(x)=x2+bx+c为偶函数,曲线y=f(x)过点(2,5),g(x)=(x+a)f(x).(1)求曲线y=g(x)有斜率为0的切线,求实数a的取值范围
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已知f(x)=x2+bx+c为偶函数,曲线y=f(x)过点(2,5),g(x)=(x+a)f(x). (1)求曲线y=g(x)有斜率为0的切线,求实数a的取值范围; (2)若当x=-1时函数y=g(x)取得极值,确定y=g(x)的单调区间. |
答案
(1)∵f(x)=x2+bx+c为偶函数,故f(-x)=f(x)即有 (-x)2+b(-x)+c=x2+bx+c解得b=0 又曲线y=f(x)过点(2,5),得22+c=5,有c=1 ∵g(x)=(x+a)f(x)=x3+ax2+x+a从而g′(x)=3x2+2ax+1, ∵曲线y=g(x)有斜率为0的切线,故有g′(x)=0有实数解.即3x2+2ax+1=0有实数解. 此时有△=4a2-12≥0解得 a∈(-∞,-]∪[,+∞)所以实数a的取值范围:a∈(-∞,-]∪[,+∞); (2)因x=-1时函数y=g(x)取得极值,故有g′(-1)=0即3-2a+1=0,解得a=2 又g′(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1)令g′(x)=0,得x1=-1,x2=- 当x∈(-∞,-1)时,g′(x)>0,故g(x)在(-∞,-1)上为增函数 当x∈(-1,-)时,g′(x)<0,故g(x)在(-1,-)上为减函数 当x∈(-,+∝)时,g′(x)>0,故g(x)在( -,+∝)上为增函数. |
举一反三
求曲线y=x3+x在点(1,)处的切线与坐标轴围成的三角形面积? |
经过曲线f(x)=ax3+bx上一点P(2,2),所作的切线的斜率为9,若y=f(x)得定义域为[-,3],则该函数的值域为______. |
设直线y=-3x+b是曲线y=x3-3x2的一条切线,则实数b的值是______. |
已知f(x)=alnx+x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有>2恒成立,则a的取值范围是( )A.(0,1] | B.(1,+∞) | C.(0,1) | D.[1,+∞) |
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已知定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d,∈R)的图象关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值-. (Ⅰ)求f(x)的解析式; (Ⅱ)当x∈[-1,1]时,图象上是否存在两点,使得在此两点处的切线互相垂直?证明你的结论. |
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