(1)f"(x)=3mx2-1,依题意,得f"(1)=tan,即3m-1=1,m=.…(2分) ∵f(1)=n,∴n=-.…(3分) (2)令f"(x)=2x2-1=0,得x=±.…(4分) 当-1<x<-时,f"(x)=2x2-1>0; 当-<x<时,f"(x)=2x2-1<0; 当<x<3时,f"(x)=2x2-1>0. 又f(-1)=,f(-)=,f()=-,f(3)=15. 因此,当x∈[-1,3]时,-≤f(x)≤15.…(7分) 要使得不等式f(x)≤k-1993对于x∈[-1,3]恒成立,则k≥15+1993=2008. 所以,存在最小的正整数k=2008,使得不等式f(x)≤k-1993对于x∈[-1,3]恒成立.…(9分) (3)方法一:|f(sinx)+f(cosx)|=|(sin3x-sinx)+(cos3x-cosx)|=|(sin3x+cos3x)-(sinx+cosx)|=|(sinx+cosx)[(sin2x-sinxcosx+cos2x)-1]|=|sinx+cosx|•|-sinxcosx-|=|sinx+cosx|3=|sin(x+)|3≤.…(11分) 又∵t>0,∴t+≥,t2+≥1. ∴2f(t+)=2[(t+)3-(t+)]=2(t+)[(t2+)-]≥2(-)=.…(13分) 综上可得,|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈R,t>0).…(14分) 方法二:由(2)知,函数f(x)在[-1,-]上是增函数;在[-,]上是减函数;在[,1]上是增函数. 又f(-1)=,f(-)=,f()=-,f(1)=-. 所以,当x∈[-1,1]时,-≤f(x)≤,即|f(x)|≤. ∵sinx,cosx∈[-1,1],∴|f(sinx)|≤,|f(cosx)|≤. ∴|f(sinx)+f(cosx)|≤|f(sinx)|+|f(cosx)|≤+=.…(11分) 又∵t>0,∴t+≥>1,且函数f(x)在[1,+∞)上是增函数. ∴2f(t+)≥2f()=2[()3-]=.…(13分) 综上可得,|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈R,t>0).…(14分) |