已知实数集R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d是实数．（1）若函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函数，在区间（-

题型：不详难度：来源：

已知实数集R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，其中a、b、c、d是实数．
（1）若函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，并且f（0）=-7，f′（0）=-18，求函数f（x）的表达式；
（2）若a、b、c满足b²＜3ac，求证：函数f（x）是单调函数．

答案

（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d，
∴f"（x）=3ax²+2bx+c，
∵f（0）=-7，
∴d=-7，
∵f"（0）=-18，
∴c=-18，
∴f"（x）=3ax²+2bx-18，
∵函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，
∴-1和3必是f"（x）=0的两个根，
∴

3a-2b-18=0 27a+6a-18=0

，解得

a=2 b=-6

，
∴f（x）=2x³-6x²-18x-7；
（2）由（1）可知，f"（x）=3ax²+2bx+c，
∵b²-3ac＜0，
∴a≠0，c≠0，
∴f"（x）为二次三项式，
∵△=（2b）²-4（3ac）=4（b²-3ac）＜0，
∴当a＞0时，f"（x）＞0恒成立，此时函数f（x）是单调增函数，
当a＜0时，f"（x）＜0恒成立，此时函数f（x）是单调减函数，
∴对任意给定的非零实数a，函数f（x）总是单调函数．