已知函数f(x)=13ax3+12bx2+cx(a>0),记g(x)为f(x)的导函数,若f(x)在R上存在反函数,且b>0,则g(2)g′(0)的最小值为( 

已知函数f(x)=13ax3+12bx2+cx(a>0),记g(x)为f(x)的导函数,若f(x)在R上存在反函数,且b>0,则g(2)g′(0)的最小值为( 

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已知函数f(x)=
1
3
ax3+
1
2
bx2
+cx(a>0),记g(x)为f(x)的导函数,若f(x)在R上存在反函数,且b>0,则
g(2)
g′(0)
的最小值为(  )
A.4B.
5
2
C.2D.
3
2
答案
由函数f(x)=
1
3
ax3+
1
2
bx2
+cx(a>0),
得g(x)=f′(x)=ax2+bx+c(a>0),
∵f(x)在R上存在反函数,∴g(x)≥0对于x∈(-∞,+∞)恒成立,
又函数g(x)的对称轴方程为x=-
b
2a
,且对应的图象开口向上,
g(-
b
2a
)=
4ac-b2
4a
≥0
,即b2≤4ac.
∵a>0,b>0,∴c≥
b2
4a

由g(x)=ax2+bx+c,g′(x)=2ax+b.
g(2)
g(0)
=
4a+2b+c
b
=2+
4a+c
b
=2+
4a
b
+
c
b
≥2+
4a
b
+
b
4a
≥2+2


4a
b
b
4a
=4

g(2)
g′(0)
的最小值为4.
故选:A.
举一反三
已知函数f(x)=-
1
3
x3+
1
2
x2
+2ax在区间(
1
4
,+∞)
上存在单调递增区间,则a的取值范围是______.
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若函数y=
x2+m2
x
(m>0)
在x0处的导数等于0,那么x0等于(  )
A.mB.-mC.±mD.m2
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若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值,则a的取值范围是______.
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已知f(x)=ex-ax-1.
(1)求f(x)的单调增区间;
(2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围;
(3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
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函数y=
log2|x|
x
的图象大致是(  )
A.B.C.D.
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