已知f(x)=ex-ax-1.(1)求f(x)的单调增区间;(2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围;(3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0]上单
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已知f(x)=ex-ax-1. (1)求f(x)的单调增区间; (2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围; (3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. |
答案
f′(x)=ex-a. (1)若a≤0,f′(x)=ex-a≥0恒成立,即f(x)在R上递增. 若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna. ∴f(x)的递增区间为(lna,+∞). (2)∵f(x)在R内单调递增,∴f′(x)≥0在R上恒成立. ∴ex-a≥0,即a≤ex在R上恒成立. ∴a≤(ex)min,又∵ex>0,∴a≤0. (3)由题意知,若f(x)在(-∞,0]上单调递减, 则ex-a≤0在(-∞,0]上恒成立. ∴a≥ex在(-∞,0]上恒成立. ∵y=ex在(-∞,0]上为增函数. ∴x=0时,y=ex最大值为1.∴a≥1. 同理可知,ex-a≥0在[0,+∞)上恒成立. ∴a≤ex在[0,+∞)上恒成立. ∵y=ex在[0,+∞)上为增函数. ∴x=0时,y=ex最小值为1.∴a≤1, 综上可知,当a=1时,满足f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增. |
举一反三
已知f(x)=lnx,g(x)=x2-x, (1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的单调增区间; (2)当x∈[-2,0]时,g(x)≤2c2-c-x3恒成立,求c的取值范围. |
已知定义在R上的函数f(x)=ax3-3x2(a为常数). (1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求实数a的值; (2)求函数f(x)的单调区间. |
若函数f(x)=x+cosx在区间(0,π)的一个子区间(k,k+)内不是单调函数,则实数k的取值范围是( )A.[,] | B.[0,]∪[,] | C.[0,)∪(,] | D.(0,)∪(,π) |
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已知函数f(x)=ax3-3x2,a≠0. (Ⅰ)对a≠0讨论求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数g(x)=exf(x)在[0,2]上单调递减,求实数a的取值范围. |
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