已知定义在R上的函数f(x)=ax3-3x2(a为常数).(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求实数a的值;(2)求函数f(x)的单调区间.
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已知定义在R上的函数f(x)=ax3-3x2(a为常数). (1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求实数a的值; (2)求函数f(x)的单调区间. |
答案
(1)由f(x)=ax3-3x2,得f′(x)=3ax2-6x. ∵x=1是函数f(x)的一个极值点, ∴f′(1)=3a-6=0,解得a=2; (2)∵f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2). 若a=0,则f′(x)=-6x,当x>0时,f′(x)0. 函数的减区间为(0,+∞),增区间为(-∞,0); 若a>0,当x∈(-∞,0),(,+∞)时,f′(x)>0,当x∈(0,)时,f′(x)<0 函数的减区间为(0,),增区间为(-∞,0),(,+∞); 若a<0,当x∈(-∞,),(0,+∞)时,f′(x)0 函数的减区间为(-∞,),(0,+∞),增区间为(,0). |
举一反三
若函数f(x)=x+cosx在区间(0,π)的一个子区间(k,k+)内不是单调函数,则实数k的取值范围是( )A.[,] | B.[0,]∪[,] | C.[0,)∪(,] | D.(0,)∪(,π) |
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已知函数f(x)=ax3-3x2,a≠0. (Ⅰ)对a≠0讨论求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数g(x)=exf(x)在[0,2]上单调递减,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=ax+x2-xlna,a>1. (1)求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; (2)对∀x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1恒成立,求a的取值范围. |
已知函数f(x)=(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行. (1)求k的值; (2)求f(x)的单调区间. |
已知函数f(x)=lnx+x2-3x-c (1)若函数f(x)在(,+m)上是单调函数,求实数m的取值范围; (2)若函数y=2x-lnx(x∈[1,4])的图象总在函数y=f(x)的图象的上方,求c的取值范围. |
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