已知函数f(x)=lnxx+ax-1(a∈R)(1)求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)≤0在区间(0,e2]上恒成立,求实数

已知函数f(x)=lnxx+ax-1(a∈R)(1)求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)≤0在区间(0,e2]上恒成立,求实数

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=
lnx
x
+
a
x
-1(a∈R)
(1)求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)≤0在区间(0,e2]上恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(1)因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),导函数f′(x)=
1-(lnx+a)
x2

∴k=f′(1)=1-a,
又f(1)=a-1,即切点坐标为(1,a-1),
所以,函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为:
y-(a-1)=(1-a)(x-1),即y=(1-a)x+2(a-1).
(2)结合(1),令f′(x)=0得x=e1-a,由对数函数的单调性知:
当x∈(0,e1-a)时,f′(x)>0,f(x)是增函数;
当x∈(e1-a,+∞)时,f′(x)<0,f(x)是减函数.
(ⅰ)当e1-a<e2时,a>-1时,f(x)max=f(e1-a)=ea-1-1,
令ea-1-1≤0,解得a≤1,即-1<a≤1,
(ⅱ)当e1-a≥e2即a≤-1时,f(x)在(0,e2]上是增函数,
∴f(x)在(0,e2]上的最大值为f(e2)=
2+a
e2
-1,
2+a
e2
-1≤0,解得a≤e2-2,即a≤-1,
综上可知,实数a的取值范围是a≤1.
举一反三
某部战士以v0m/s的初速度从地面竖直向上发射信号弹,ts后距地面的高度hm由h(t)=v0t-4.9t2表示,已知发射后5s时信号弹距地面245m,则信号弹的初速度v0等于______m/s,信号弹在245m以上所持续的时间为______s.
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物体作直线运动的方程s=t2+2t-3,求物体在t=2秒时的速度和加速度.
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f(x0)=
lim
△x→0
f(x0+△x)-f(x0)
△x
中,△x不可能(  )
A.大于0B.等于0
C.小于0D.大于0或小于0
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已知抛物线C:y=x2+4x+
2
7
,过C上一点M,且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线.
(Ⅰ)若C在点M的法线的斜率为-
1
2
,求点M的坐标(x0,y0
(Ⅱ)设P(-2,a)为C对称轴上的一点,在C上是否存在点,使得C在该点的法线通过点P?若有,求出这些点,以及C在这些点的法线方程;若没有,请说明理由.
题型:安徽难度:| 查看答案
函数在y=x3-2x+2在x=2处的切线的斜率为______.
题型:不详难度:| 查看答案
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