已知函数f(x)=alnx-bx2图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为y=-3x+2ln2+2.(1)求a,b的值;(2)若方程f(x)+m=0在[1e,
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已知函数f(x)=alnx-bx2图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为y=-3x+2ln2+2.(1)求a,b的值;(2)若方程f(x)+m=0在[1e,
题型:花都区模拟
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来源:
已知函数f(x)=alnx-bx
2
图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为y=-3x+2ln2+2.
(1)求a,b的值;
(2)若方程f(x)+m=0在
[
1
e
, e]
内有两个不等实根,求m的取值范围(其中e为自然对数的底).
答案
解(1)
f′(x)=
a
x
-2bx
,
f′(2)=
a
2
-4b
,f(2)=aln2-4b.
∴
a
2
-4b=-3
,且aln2-4b=-6+2ln2+2.
解得a=2,b=1.
(2)f(x)=2lnx-x
2
,令h(x)=f(x)+m=2lnx-x
2
+m,
则
h′(x)=
2
x
-2x=
2(1-
x
2
)
x
,令h"(x)=0,得x=1(x=-1舍去).
在
[
1
e
, e]
内,当x∈
[
1
e
, 1)
时,h"(x)>0,∴h(x)是增函数;
当x∈(1,e]时,h"(x)<0,∴h(x)是减函数.
则方程h(x)=0在
[
1
e
, e]
内有两个不等实根的充要条件是
h(
1
e
) ≤ 0
h(1)>0
h(e) ≤ 0.
即1<m≤
1
e
2
+2
.
举一反三
如果曲线y=x
3
+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行,求切点坐标与切线方程.
题型:不详
难度:
|
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给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f′(x)存在,且导函数f′(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f′(x)=(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0,
π
2
)上不是凸函数的是______.(把你认为正确的序号都填上)
①f(x)=sin x+cos x;
②f(x)=ln x-2x;
③f(x)=-x
3
+2x-1;
④f(x)=xe
x
.
题型:不详
难度:
|
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设a>0,函数f(x)=x
2
+a|lnx-1|.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;
(2)当x∈[1,+∞)时,求函数f(x)的最小值.
题型:南京一模
难度:
|
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lim
△x→0
f(
x
0
+3△x)-f(
x
0
)
△x
=1
,则f"(x
0
)等于( )
A.1
B.0
C.3
D.
1
3
题型:不详
难度:
|
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已知函数y=e
x
的图象在点
(
a
k
,
e
a
k
)
处的切线与x轴的交点的横坐标为a
k+1
,其中k∈N
*
,a
1
=0,则a
1
+a
3
+a
5
=______.
题型:不详
难度:
|
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