设曲线y=e-x(x≥0)在点M(t,c-1c)处的切线l与x轴y轴所围成的三角表面积为S(t).(Ⅰ)求切线l的方程;(Ⅱ)求S(t)的最大值.
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设曲线y=e-x(x≥0)在点M(t,c-1c)处的切线l与x轴y轴所围成的三角表面积为S(t). (Ⅰ)求切线l的方程; (Ⅱ)求S(t)的最大值. |
答案
(Ⅰ)因为f"(x)=(e-x)"=-e-x, 所以切线l的斜率为-e-1, 故切线l的方程为y-e-t=-e-t(x-t). 即e-tx+y-e-1(t+1)=0 (Ⅱ)令y=0得x=t+1, 又令x=0得y=e-t(t+1) 所以S(t)=(t+1)•e-1(t+1) =(t+1)2e-1 从而S′(t)=e-1(1-t)(1+t). ∵当t∈(0,1)时,S"(t)>0, 当t∈(1,+∞)时,S"(t)<0, 所以S(t)的最大值为S(1)=. |
举一反三
定义在R上的可导函数f(x)满足f(-x)=f(x),f(x-2)=f(x+2),且当x∈[0,2]时,f(x)=ex+xf′(0),则f()与f()的大小关系是( )A.f()>f() | B.f()=f() | C.f()<f() | D.不确定 |
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定义在R上的函数f(x)满足f(3)=1,f(-2)=3,f′(x)为f(x)的导函数,已知y=f′(x)的图象如图所示,且f′(x)有且只有一个零点,若非负实数a,b满足f(2a+b)≤1,f(-a-2b)≤3,则的取值范围是( )A.[,3] | B.(0,]∪[3,+∞) | C.[,5] | D.(0,]∪[5,+∞) |
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已知函数f(x)=(x2+bx+c)ex在点P(0,f(0))处的切线方程为2x+y-1=0. (1)求b,c的值; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)若方程f(x)=m恰有两个不等的实根,求m的取值范围. |
质点M按规律s=2t2+3作直线运动,则质点M在t=1时的瞬时速度是( ) |
已知曲线y=的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( ) |
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