解:(Ⅰ)∵函数, ∴(x>0). ∵曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行, ∴f"(1)=f"(3), 即, 解得. (Ⅱ)(x>0). ①当a≤0时,x>0,ax﹣1<0, 在区间(0,2)上,f"(x)>0; 在区间(2,+∞)上f"(x)<0, 故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞). ②当时,, 在区间(0,2)和上,f"(x)>0; 在区间上f"(x)<0, 故f(x)的单调递增区间是(0,2)和,单调递减区间是 ③当时,, 故f(x)的单调递增区间是(0,+∞). ④当时,, 在区间和(2,+∞)上,f"(x)>0; 在区间上f"(x)<0, 故f(x)的单调递增区间是和(2,+∞),单调递减区间是. (Ⅲ)由已知,在(0,2]上有f(x)max<g(x)max. 由已知,g(x)max=0,由(Ⅱ)可知, ①当时,f(x)在(0,2]上单调递增, 故f(x)max=f(2)=2a﹣2(2a+1)+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2, 所以,﹣2a﹣2+2ln2<0,解得a>ln2﹣1, 故. ②当时,f(x)在上单调递增,在上单调递减, 故. 由可知, 2lna>﹣2,﹣2lna<2, 所以,﹣2﹣2lna<0,f(x) max<0, 综上所述,a>ln2﹣1. |