已知抛物线C1:y=x2+2x和C:y=-x2+a,如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段。(1)
题型:同步题难度:来源:
已知抛物线C1:y=x2+2x和C:y=-x2+a,如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段。 (1)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程; (2)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分。 |
答案
解:(1)函数y=x2+2x的导数y′=2x+2, 曲线C1在点P(x1,x21+2x1)的切线方程是:y-(x12+2x1)=(2x1+2)(x-x1), 即y=(2x1+2)x-x12 ① 函数y=-x2+a的导数y′=-2x, 曲线C2在点Q(x2,-x22+a)的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2) 即y=-2x2x+x22+a ② 如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都是l的方程, 所以x1+1=-x2,-x12=x22+a 消去x2得方程2x12+2x2+1+a=0 若判别式△=4-4×2(1+a)=0时, 即a=-时,解得x1=-, 此时点P与Q重合, 即当a=-时C1和C2有且仅有一条公切线,由①得公切线方程为y=x-。 (2)由(1)可知,当a<-时C1和C2有两条公切线 设一条公切线上切点为:P(x1,y1), Q(x2 ,y2) 其中P在C1上,Q在C2上, 则有x1+x2=-1,y1+y2=x12+2x1+(-x22+a)=x21+2x1-(x1+1)2+a=-1+a, 线段PQ的中点为 同理,另一条公切线段P′Q′的中点也是 所以公切线段PQ和P′Q′互相平分。 |
举一反三
y=x2的斜率等于2的切线方程为 |
[ ] |
A.2x-y+1=0 B.2x-y+1=0或2x-y-1=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y=0 |
曲线在点Q(16,8)处的切线斜率是( )。 |
设坐标平面上的抛物线E:y=x2,过第一象限的点(a,a2)作曲线E的切线l,则l与y轴的交点Q的坐标为( ),l与y轴的夹角为30°时,a=( )。 |
最新试题
热门考点