设函数,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3,(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)证明:函数y=f(x)的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心

设函数,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3,(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)证明:函数y=f(x)的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心

题型:海南省高考真题难度:来源:
设函数,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3,
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)证明:函数y=f(x)的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心;
(Ⅲ)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值。
答案
(Ⅰ)解:
于是
因a,b∈Z,

(Ⅱ)证明:已知函数都是奇函数,
所以函数也是奇函数,其图像是以原点为中心的中心对称图形,

可知,函数g(x)的图像按向量平移,即得到函数f(x)的图像,
故函数f(x)的图像是以点(1,1)为中心的中心对称图形;
(Ⅲ)证明:在曲线上任取一点
知,
过此点的切线方程为
令x=1得,切线与直线x=1交点为
令y=x得,切线与直线y=x交点为
直线x=1与直线y=x的交点为(1,1),
从而所围三角形的面积为
所以,所围三角形的面积为定值2。
举一反三
设f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0=

[     ]

A.e2
B.e
C.
D.ln2
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设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0。
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值。
题型:海南省高考真题难度:| 查看答案
曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为(    )。
题型:海南省高考真题难度:| 查看答案
曲线和y=x2在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是(    )。
题型:湖南省高考真题难度:| 查看答案
曲线y=x3+x在点(1,)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为

[     ]

A、
B、
C、
D、
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