如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,AA1=2,∠ACB=90°,M是A1B1的中点.(1)求证:C1M⊥平面ABB1A1(2)求异面直线A1

如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,AA1=2,∠ACB=90°,M是A1B1的中点.(1)求证:C1M⊥平面ABB1A1(2)求异面直线A1

题型:不详难度:来源:
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,AA1=2,∠ACB=90°,M是A1B1的中点.
(1)求证:C1M⊥平面ABB1A1
(2)求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值.
答案
(1)证明:∵直三棱柱ABC-A1B1C1∴AA1⊥面A1B1C1
又C1M⊂A1B1C1∴C1M⊥AA1(2分)∵A1C1=B1C1=1,M是A1B1的中点∴C1M⊥A1B1(4分)
又AA1∩A1B1=A1∴C1M⊥平面ABB1A1(6分)
(2)设BC,BB1的中点分别为R、N连接RN,连接MN,则MNA1B,NRB1C
∴∠MNR是异面直线A1B与B1C所成角或其补角(9分)
设点P为AB的中点,连接MP,MR
在Rt△MPR中,MR=


22+(
1
2
)
2
=
在△MNR中,MN=A1B=


6
2
,RN=
1
2
B1C=


5
2
,MR=


17
2

由余弦定理得:
cos∠MNR=
MN2+RN2-MR2
2MN×RN
=
(


6
2
)
2
+(


5
2
)
2
-(


17
2
)
2


6
2
×


5
2
=-


30
10
(11分)
∴异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为


30
10
(12分)
举一反三
如图,四面体ABCD中,O.E分别为BD.BC的中点,且CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=


2

(1)求证:AO⊥平面BCD;
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值.
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如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点
(1)证明:AD⊥D1F;
(2)求AE与D1F所成的角;
(3)证明:面AED⊥面A1FD1
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已知A、B、C是球O的球面上三点,∠BAC=90°,AB=2,BC=4,球O的表面积为48π,则异面直线AB与OC所成角余弦值为______.
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如图ABCD-A1B1C1D1是正方体,B1E1=D1F1=
A1B1
4
,则BE1与DF1所成的角的余弦值是(  )
A.
15
17
B.
1
2
C.
8
17
D.


3
2
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长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为(  )
A.


10
10
B.


30
10
C.
2


15
10
D.
3


10
10
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