已知抛物线C1:y=x2+2x和C:y=-x2+a,如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段。(1)
题型:天津高考真题难度:来源:
已知抛物线C1:y=x2+2x和C:y=-x2+a,如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段。 (1)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程; (2)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分。 |
答案
解:(1)函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P(x1,x21+2x1)的切线方程是: y-(x12+2x1)=(2x1+2)(x-x1), 即y=(2x1+2)x-x12 ① 函数y=-x2+a的导数y′=-2x, 曲线C2在点Q(x2,-x22+a)的切线方程是 y-(-x22+a)=-2x2(x-x2) 即y=-2x2x+x22+a ② 如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都是l的方程, 所以x1+1=-x2,-x12=x22+a 消去x2得方程2x12+2x2+1+a=0 若判别式△=4-4×2(1+a)=0时,即a=-时解得x1=-,此 时点P与Q重合 即当a=-时C1和C2有且仅有一条公切线,由①得公切线方程为y=x-。 (2)由(1)可知,当a<-时C1和C2有两条公切线 设一条公切线上切点为:P(x1,y1), Q(x2 ,y2) 其中P在C1上,Q在C2上,则有x1+x2=-1,y1+y2=x12+2x1+(-x22+a)=x21+2x1-(x1+1)2+a=-1+a 线段PQ的中点为 同理,另一条公切线段P′Q′的中点也是 所以公切线段PQ和P′Q′互相平分。 |
举一反三
已知函数f(x)在R上满足f(x)=ex+x2-x+sinx,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是 |
[ ] |
A.y=2x-1 B.y=3x-2 C.y=x+1 D.y=-2x+3 |
设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则log2010x1+log2010x2+…+log2010x2009的值为 |
[ ] |
A.-log20102009 B.-1 C.(log20102009)-1 D.1 |
若曲线f(x)=x·sinx+1在处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实数a等于 |
[ ] |
A.-2 B.-1 C.1 D.2 |
最新试题
热门考点