如图,P是抛物线C:y=x2上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q,(Ⅰ)若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程;(Ⅱ)若直线l不过原点且

如图,P是抛物线C:y=x2上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q,(Ⅰ)若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程;(Ⅱ)若直线l不过原点且

题型:福建省高考真题难度:来源:
如图,P是抛物线C:y=x2上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q,
(Ⅰ)若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程;
(Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求的取值范围。

答案
解:(Ⅰ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),
依题意x1≠0,y1>0,y2>0,
由y=x2, ①
得y′=x,
∴过点P的切线的斜率k=x1
∴直线l的斜率kl=
∴直线l的方程为
联立①②消去y,得
∵M是PQ的中点,

消去x1,得
∴PQ中点M的轨迹方程为
(Ⅱ)设直线l:y=kx+b,
依题意k≠0,b≠0,则T(0,b),
分别过P、Q作PP′⊥x轴,QQ′⊥y轴,垂足分别为P′、Q′,

消去x,得y2-2(k2+b)y+b2=0, ③
则y1+y2=2(k2+b),y1y2=b2

∵y1、y2可取一切不相等的正数,
的取值范围是(2,+∞)。
举一反三
已知函数f(x)在R上满足f(x)=ex+x2-x+sinx,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是 [     ]
A.y=2x-1
B.y=3x-2
C.y=x+1
D.y=-2x+3
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设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则log2010x1+log2010x2+…+log2010x2009的值为

[     ]

A.-log20102009
B.-1
C.(log20102009)-1
D.1
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若曲线f(x)=x·sinx+1在处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实数a等于[     ]
A.-2
B.-1
C.1
D.2
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已知f(x)=x3-3x,过点P(-2,-2)作函数y=f(x)图象的切线,则切线方程为(    )。
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已知函数f(x)=x3-mx2+mx(m>0),
(Ⅰ)当m=2时,求函数y=f(x)的图象在点(0,0)处的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数y=f(x)的单调性;
(Ⅲ)若函数f(x)既有极大值,又有极小值,且当0≤x≤4m时,f(x)<mx2+恒成立,求m的取值范围。
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