已知函数f(x)=x3-x,(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程;(Ⅱ)设a>0,如果过点(a,b)时作曲线y=f(x)的三条切线,证明:

已知函数f(x)=x3-x,(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程;(Ⅱ)设a>0,如果过点(a,b)时作曲线y=f(x)的三条切线,证明:

题型:高考真题难度:来源:
已知函数f(x)=x3-x,
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程;
(Ⅱ)设a>0,如果过点(a,b)时作曲线y=f(x)的三条切线,证明:-a<b<f(a)。
答案
解:(Ⅰ)求函数f(x)的导数:
曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程为:

(Ⅱ)如果有一条切线过点(a,b),
则存在t,使
于是,若过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,则方程有三个相异的实数根,
,则
当t变化时,变化情况如下表:

由g(t)的单调性,当极大值a+b<0或极小值时,方程g(t)=0最多有一个实数根;
当a+b=0时,解方程g(t)=0得t=0,,即方程g(t)=0只有两个相异的实数根;
当b- f(a)=0时,解方程g(t)=0得,即方程g(t)=0只有两个相异的实数根;
综上,如果过(a,b)可作曲线y=f(x)三条曲线,
即g(t)=0有三个相异的实数根,则
即-a<b<f(a)。
举一反三
曲线y=4x-x3在点(-1,-3)处的切线方程是 [     ]
A、y=7x+4
B、y=7x+2
C、y=x-4
D、y=x-2
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已知抛物线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为 [     ]
A、1
B、2
C、3
D、4
题型:高考真题难度:| 查看答案
曲线y=x3-2x2-4x+2在点(1,-3)处的切线方程是(    )。
题型:浙江省高考真题难度:| 查看答案
某生物生长过程中,在三个连续时段内的增长量都相等,在各时段内平均增长速度分别为v1,v2,v3,该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为[     ]
A.
B.
C.
D.
题型:陕西省高考真题难度:| 查看答案
已知f(x)=ax3+bx2+cx在区间[0,1]上是增函数,在区间(-∞,0),(1,+∞)上是减函数,又
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在区间[0,m](m>0)上恒有f(x)≤x成立,求m的取值范围。
题型:陕西省高考真题难度:| 查看答案
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