已知函数f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中t∈R.(Ⅰ)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)当t≠0时

已知函数f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中t∈R.(Ⅰ)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)当t≠0时

题型:解答题难度:一般来源:天津
已知函数f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中t∈R.
(Ⅰ)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(Ⅱ)当t≠0时,求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)证明:对任意的t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
答案
(I)当t=1时,f(x)=4x3+3x2-6x,f(0)=0
f"(x)=12x2+6x-6,f"(0)=-6,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-6x.
(II)f"(x)=12x2+6tx-6t2,f"(0)=0,解得x=-t或x=
t
2

∵t≠0,以下分两种情况讨论:
(1)若t<0,则
t
2
<-t,∴f(x)的单调增区间是(-∞,
t
2
),(-t,+∞);f(x)的单调减区间是(
t
2
,-t)
(2)若t>0,则
t
2
>-t,∴f(x)的单调增区间是(-∞,-t),(
t
2
,+∞);f(x)的单调减区间是(-t,
t
2

(III)证明:由(II)可知,当t>0时,f(x)在(0,
t
2
)内单调递减,在(
t
2
,+∞)内单调递增,以下分两种情况讨论:
(1)当
t
2
≥1,即t≥2时,f(x)在(0,1)内单调递减.
f(0)=t-1>0,f(1)=-6t2+4t+3≤-13<0
所以对于任意t∈[2,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
(2)当0<
t
2
<1,即0<t<2时,f(x)在(0,
t
2
)内单调递减,在(
t
2
,1)内单调递增
若t∈(0,1],f(
t
2
)=-
7
4
t3
+t-1≤-
7
4
t3
<0,
f(1)=)=-6t2+4t+3≥-2t+3>0
所以f(x)在(
t
2
,1)内存在零点.
若t∈(1,2),f(
t
2
)=-
7
4
t3
+t-1<-
7
4
t3
+1<0,
f(0)=t-1>0∴f(x)在(0,
t
2
)内存在零点.
所以,对任意t∈(0,2),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
综上,对于任意t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
举一反三
已知a为实数,x=4是函数f(x)=alnx+x2-12x的一个极值点.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有且仅有3个交点,求b的取值范围.
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以下函数在区间(0,2)上必有零点的是(  )
A.y=x-3B.y=2xC.y=x2D.y=lgx
题型:单选题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=|x2-2x|-a有四个零点,则实数a的取值范围是 ______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2-alnx(常数a>0),g(x)=ex-x.
(1)证明:ea>a;
(2)当a>2e时,讨论函数f(x)在区间(1,ea)上零点的个数(e为自然对数的底数).
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不等式2x-
1
x
-a>0
在[1,3]内有实数解,则实数a的取值范围是______.
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