已知函数f(x)=lnx+1-xax,其中a为大于零的常数.(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求a的取值范围;(2)求函数f(x)在区间[1,2
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已知函数f(x)=lnx+1-xax,其中a为大于零的常数.(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求a的取值范围;(2)求函数f(x)在区间[1,2
题型:聊城二模
难度:
来源:
已知函数f(x)=lnx+
1-x
ax
,其中a为大于零的常数.
(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求a的取值范围;
(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.
答案
f′(x)=
ax-1
a
x
2
(x>0),
(1)由已知,得f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,
即a≥
1
x
在[1,+∞)上恒成立,
又∵当x∈[1,+∞)时,
1
x
≤
1,
∴a≥1,即a的取值范围为[1,+∞);
(2)当a≥1时,f′(x)>0在(1,2)上恒成立,这时f(x)在[1,2]上为增函数,
∴f(x)
min
=f(1)=0;
当0<a≤
1
2
,∵f′(x)<0在(1,2)上恒成立,这时f(x)在[1,2]上为减函数,
∴f(x)
min
=f(2)=ln2-
1
2a
;
当
1
2
<a<1时,令f′(x)=0,得x=
1
a
∈(1,2),
又∵对于x∈[1,
1
a
)有f′(x)<0,对于x∈(
1
a
,2)有f′(x)>0,
∴f(x)
min
=f(
1
a
)=ln
1
a
+1-
1
a
,
综上,f(x)在[1,2]上的最小值为
①当0<a
≤
1
2
时,f(x)
min
=ln2-
1
2a
;
②当
1
2
<a<1
时,f(x)
min
=ln
1
a
+1-
1
a
;
③当a≥1时,f(x)
min
=0.
举一反三
在下列图象中,可能是函数y=cosx+lnx
2
的图象的是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
题型:湖南
难度:
|
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函数f(x)=x
3
+bx
2
+cx+d图象如图,则函数y=x
2
+
2
3
bx+
c
3
的单调递增区间为( )
A.(-∞,-2]
B.[3,+∞)
C.[-2,3]
D.[
1
2
,+∞)
题型:江西模拟
难度:
|
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已知函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx在点x
0
处取得极小值-4,使其导数f"(x)>0的x的取值范围为(1,3),求:
(1)f(x)的解析式;
(2)x∈[2,3],求g(x)=f"(x)+6(m-2)x的最大值.
题型:不详
难度:
|
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若f(x)=ax
3
-3x在R上是单调函数,则a的取值范围为______.
题型:不详
难度:
|
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