已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极小值-4,使其导数f"(x)>0的x的取值范围为(1,3),求:(1)f(x)的解析式;(2)x∈[2,3
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已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极小值-4,使其导数f"(x)>0的x的取值范围为(1,3),求: (1)f(x)的解析式; (2)x∈[2,3],求g(x)=f"(x)+6(m-2)x的最大值. |
答案
(1)∵f′(x)=3ax2+2bx+c>0的x的取值范围为(1,3), ∴,∴b=-6a,c=9a, ∴f′(x)=3ax2-12ax+9a=3a(x2-4x+3)=3a(x-1)(x-3), 令f′(x)>0,解得1<x<3;令f′(x)<0,解得x>3,或x<1. 列表如下:
由表格可知:函数f(x)在x=1处取得极小值,∴f(1)=-4,即a-6a+9a=-4,解得a=-1. ∴f(x)=-x3+6x2-9x. (2)由(1)可得:g(x)=-3x2+12x-9+6(m-2)x =-3x2+6mx-9 =-3(x-m)2+3m2-9. ①当2≤m≤3时,函数g(x)在区间[2,3]上有:g(x)max=g(m)=-3(m2-2m2+3)=3m2-9. ②当m<2时,g(x)在[2,3]上单调递减,∴g(x)max=g(2)=12m-21. ③当m>3时,g(x)在[2,3]上单调递增,∴g(x)max=g(3)=18m-36. |
举一反三
若f(x)=ax3-3x在R上是单调函数,则a的取值范围为______. |
对任意的实数a,b,记max{a,b}=,若F(x)=max{f(x),g(x)}(x∈R),其中奇函数y=f(x)在x=1时有极小值-2,y=g(x)是正比例函数,函数y=f(x)(x≥0)与函数y=g(x)的图象如图所示,则下列关于函数y=F(x)的说法中,正确的是( )A.y=F(x)为奇函数 | B.y=F(x)有极大值F(1)且有极小值F(-1) | C.y=F(x)在(-3,0)上不是单调函数 | D.y=F(x)的最小值为-2且最大值为2 |
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已知函f(x)=x2-8lnx,g(x)=-x2+14x (1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数f(x)与g(x)在区间(a,a+1)上均为增函数,求a的取值范围; (3)若方程f(x)=g(x)+m有唯一解,试求实数m的值. |
已知函数f(x)=在x=1处取得极值2. (1)求函数f(x)的解析式; (2)实数m满足什么条件时,函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增? (3)是否存在这样的实数m,同时满足:①m≤1;②当x∈(-∞,m]时,f(x)≥m恒成立.若存在,请求出m的取值范围;若不存在,说明理由. |
函数f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6,那么a的值是( ) |
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