如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=2,∠DAC=∠ABC=90°,,(Ⅰ)证明:AD⊥PC;(Ⅱ)求PD与平面PBC所成角的大
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如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=2,∠DAC=∠ABC=90°,,(Ⅰ)证明:AD⊥PC;(Ⅱ)求PD与平面PBC所成角的大
题型:贵州省模拟题
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如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=2,∠DAC=∠ABC=90°,
,
(Ⅰ)证明:AD⊥PC;
(Ⅱ)求PD与平面PBC所成角的大小。
答案
证明:(Ⅰ)由PA⊥平面ABCD知AC为PC在平面ABCD的射影,
由∠DAC=90°知,AD⊥DC,
故AD⊥PC(三垂线定理)。
解:(Ⅱ)建立如图所示空间直角坐标系A-xyz,
由已知可得
,
设平面PBC的法向量为
,
由
,
则
,
则PD与平面PBC所成的角为
。
举一反三
如图,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是矩形,AB=2 ,
,且侧面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD,E是棱PA的中点,
(Ⅰ)求证:PD⊥AC;
(Ⅱ)在棱PA上是否存在一点E,使得二面角E-BD-A的大小为45°,若存在,试求
的值,若不存在,请说明理由。
题型:河北省模拟题
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如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1,
(Ⅰ)求证:BC⊥平面ACFE;
(Ⅱ)点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°),试求cosθ的取值范围。
题型:湖北省模拟题
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已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,
(Ⅰ)证明:BN⊥平面C
1
NB
1
;
(Ⅱ)求平面CNB
1
与平面C
1
NB
1
所成角的余弦值。
题型:陕西省模拟题
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如图,在直角梯形ABCP中,AB=BC=3,AP=6,CD⊥AP于D,现将△PCD沿线段CD折成60°的二面角P-CD-A,设E,F,G分别是PD,PC,BC的中点,
(Ⅰ)求证:PA∥平面EFG;
(Ⅱ)若M为线段CD上的动点,问点M在什么位置时,直线MF与平面EFG所成角为60°。
题型:浙江省模拟题
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已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E、F分别是线段AB、BC的中点,
(1)证明:PF⊥FD;
(2)判断并说明PA上是否存在点G,使得EG∥平面PFD;
(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°,求二面角A-PD-F的余弦值。
题型:海南省模拟题
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