已知函数f(x)=x2-alnx(常数a>0),g(x)=ex-x.(1)证明:ea>a;(2)当a>2e时,讨论函数f(x)在区间(1,ea)上零点的个数(e

已知函数f(x)=x2-alnx(常数a>0),g(x)=ex-x.(1)证明:ea>a;(2)当a>2e时,讨论函数f(x)在区间(1,ea)上零点的个数(e

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x2-alnx(常数a>0),g(x)=ex-x.
(1)证明:ea>a;
(2)当a>2e时,讨论函数f(x)在区间(1,ea)上零点的个数(e为自然对数的底数).
答案
(1)证明:得g′(x)=ex-1,令g′(x)=0得到x=0
当x>0时,g′(x)=ex-1>1-1=0,
∴g(x)在[0,+∞)上是增函数,
又a>0,得g(a)>g(0)=1>0.
所以,ea-a>0,即ea>a.
(2)因为f′(x)=2x-
a
x
=
2x2-a
x
=
2(x-


2a
2
)(x+


2a
2
)
x

0<x<


2a
2
时,f′(x)<0,f(x)为减函数;
x>


2a
2
时,f′(x)>0,f(x)为增函数.
f(x)min=f(


2a
2
)=
a
2
(1-ln
a
2
)

又由(1)得
a
2
<a<eae2a(a≥0,a<2a)⇒


2a
2
ea

且当a>2e时,


2a
2


e
>1
,有1<


2a
2
ea

而f(1)=1>0,f(ea)=e2a-a2=(ea-a)(ea+a)>0,
当a>2e时,f(x)min=f(


2a
2
)=
a
2
(1-ln
a
2
)<0

所以,当a>2e时,函数f(x)在(1,ea)上有两个零点.
举一反三
不等式2x-
1
x
-a>0
在[1,3]内有实数解,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
方程log
1
2
|x|=(x-1)2-1
的解的个数为(  )
A.0B.1C.2D.3
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设定义域为R的函数f(x)=





|lg|x-2
题型:(x≠2)
0
,若b<0,则关于x的方程f2(x)+bf(x)=0的不同实根共有(  )
A.4个B.5个C.7个D.8个
魔方格
难度:| 查看答案
已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0.若x1,x2为方程ax2+bx+c=0的两个实数根,则|
x21
-
x22
|
的取值范围为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=lnx-x+2的零点个数为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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