已知a为实数,x=4是函数f(x)=alnx+x2-12x的一个极值点.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅲ)若直线y=b与函数y=f(x)的图

已知a为实数,x=4是函数f(x)=alnx+x2-12x的一个极值点.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅲ)若直线y=b与函数y=f(x)的图

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知a为实数,x=4是函数f(x)=alnx+x2-12x的一个极值点.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有且仅有3个交点,求b的取值范围.
答案
(Ⅰ)∵函数f(x)=alnx+x2-12x,
∴f′(x)=
a
x
+2x-12,
∵x=4是函数f(x)=alnx+x2-12x的一个极值点,
∴f′(4)=0,得
a
4
+8-12=0,得a=16;
(Ⅱ)当a=16时,f(x)=16lnx+x2-12x,f′(x)=
16
x
+2x-12=
2(x-2)(x-4)
x

魔方格

当f′(x)>0时,可得x>4或者0<x<2;
当f′(x)<0时,可得2<x<4;
∴函数f(x)的单调增区间为:(4,+∞),(0,2);
函数f(x)的单调减区间为:(2,4);
(Ⅲ)直线y=b与函数y=f(x)的图象有且仅有3个交点,f(4)=16ln4-32,f(2)=16ln2-20,
由(Ⅱ)知f(x)在x=2出去极大值,在x=4出取极小值,
画出f(x)的草图:
直线y=b与函数y=f(x)的图象有且仅有3个交点,
∴直线y=b必须在直线l和直线n之间,
∴f(4)<b<f(2),
即161n4-32<b<16ln2-20,;
举一反三
以下函数在区间(0,2)上必有零点的是(  )
A.y=x-3B.y=2xC.y=x2D.y=lgx
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函数f(x)=|x2-2x|-a有四个零点,则实数a的取值范围是 ______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2-alnx(常数a>0),g(x)=ex-x.
(1)证明:ea>a;
(2)当a>2e时,讨论函数f(x)在区间(1,ea)上零点的个数(e为自然对数的底数).
题型:解答题难度:一般| 查看答案
不等式2x-
1
x
-a>0
在[1,3]内有实数解,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
方程log
1
2
|x|=(x-1)2-1
的解的个数为(  )
A.0B.1C.2D.3
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