如图，已知M是函数y=4-x2（0＜x＜2）图像C上一点，过M点作曲线C的切线与x轴、y轴分别交于点A、B，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值。

题型：0103 期末题难度：来源：

如图，已知M是函数y=4-x²（0＜x＜2）图像C上一点，过M点作曲线C的切线与x轴、y轴分别交于点A、B，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值。

答案

解：∵，∴y′=-2x，
设，则过M点曲线C的切线斜率k=-2m，
∴切线方程为，
由x=0，得，
由y=0，得，其中0＜m＜2，
设△AOB的面积为S，则
，0＜m＜2，
∴，
令S′=0，得，解得，
当m∈时，S′＜0，S在区间上为减函数；
当m∈时，S′＞0，S在区间上为增函数，
∴当时，S取得最小值，最小值为。