解:(1)∵a=4, ∴且, 又∵, ∴, ∴f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为:,即4x+e2y-9e=0. (2)f(x)的定义域为(0,+∞),, 令f′(x)=0得, 当时,f′(x)>0,f(x)是增函数; 当时,f′(x)<0,f(x)是减函数; ∴f(x)在处取得极大值,即。 (3)①当,即a>-1时,由(2)知f(x)在(0,)上是增函数,在上是减函数, ∴当时,f(x)取得最大值,即; 又当x=e-a时,f(x)=0,当x∈(0,e-a]时,f(x)<0, 当x∈(e-a,e2]时,, 所以f(x)的图象与g(x)=1的图象在(0,e2]上有公共点, 等价于,解得a≥1, 又因为a>-1,所以a≥1; ②当,即a≤-1时,f(x)在(0,e2]上是增函数, ∴f(x)在(0,e2]上的最大值为, ∴原问题等价于,解得a≥e2-2, 又∵a≤-1, ∴无解; 综上,a的取值范围是a≥1。 |