函数f(x)=4x3+ax2+bx+5的图像在x=1处的切线方程为y=-12x, (1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在[-3,1]上的最值。
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函数f(x)=4x3+ax2+bx+5的图像在x=1处的切线方程为y=-12x, (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)在[-3,1]上的最值。 |
答案
解:(1)f′(x)=12x2+2ax+b, ∵y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-12x, ∴,即,解得:a=-3,b=-18, ∴f(x)=4x3-3x2-18x+5。 (2)∵f′(x)=12x2-6x-18=6(x+1)(2x-3), 令f′(x)=0解得:x=-1或x=, ∴当x<-1或x>时,f′(x)>0,当-1<x<时,f′(x)<0, ∵x∈[-3,1], ∴f(x)在[-3,1]上无极小值,有极大值f(-1)=16, 又∵f(-3)=-76,f(1)=-12, ∴f(x)在[-3,1]上的最小值为-76,最大值为16。 |
举一反三
已知函数,其导函数的图象过原点。 (1)当a=1时,求函数的图象在x=3处的切线方程; (2)当a>0时,确定函数f(x)的零点个数。 |
曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )。 |
曲线在点(-1,-1)处的切线方程为( )。 |
已知函数f(x)=x3+3x, (1)求曲线y=f(x)在点P(1,4)处的切线方程; (2)求此函数的单调区间。 |
如图,已知M是函数y=4-x2(0<x<2)图像C上一点,过M点作曲线C的切线与x轴、y轴分别交于点A、B,O是坐标原点,求△AOB面积的最小值。 |
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