已知函数f（x）=x+xlnx。（1）求函数f（x）的图像在点（1，1）处的切线方程；（2）若k∈Z，且k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求k的最大值；

题型：0111 模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=x+xlnx。
（1）求函数f（x）的图像在点（1，1）处的切线方程；
（2）若k∈Z，且k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）当n＞m≥4，证明（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ。

答案

解：（1）因为
所以
函数的图像在点处的切线方程；
（2）由（1）知
所以
对任意恒成立
即
对任意恒成立
令则

令，则
所以函数在上单调递增
因为
所以方程在上存在唯一实根，且满足
当
即
当
即
所以函数在上单调递减，在上单调递增
所以
所以
故整数k的最大值是3；
（3）由（2）知，是上的增函数
所以当时，
即
整理得
因为
所以
即
即
所以。