现有甲、乙两个靶,某射手进行射击训练,每次射击击中甲靶的概率是p1,每次射击击中乙靶的概率是p2,其中p1>p2,已知该射手先后向甲、乙两靶各射击一次,两次都能

现有甲、乙两个靶,某射手进行射击训练,每次射击击中甲靶的概率是p1,每次射击击中乙靶的概率是p2,其中p1>p2,已知该射手先后向甲、乙两靶各射击一次,两次都能

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现有甲、乙两个靶,某射手进行射击训练,每次射击击中甲靶的概率是p1,每次射击击中乙靶的概率是p2,其中p1>p2,已知该射手先后向甲、乙两靶各射击一次,两次都能击中与两次都不能击中的概率分别为
8
15
1
15
.该射手在进行射击训练时各次射击结果互不影响.
(Ⅰ)求p1,p2的值;
(Ⅱ)假设该射手射击乙靶三次,每次射击击中目标得1分,未击中目标得0分.在三次射击中,若有两次连续击中,而另外一次未击中,则额外加1分;若三次全击中,则额外加3分.记η为该射手射击三次后的总的分数,求η的分布列;
(Ⅲ)某研究小组发现,该射手在n次射击中,击中目标的次数X服从二项分布.且射击甲靶10次最有可能击中8次,射击乙靶10次最有可能击中7次.试探究:如果X:B(n,p),其中0<p<1,求使P(X=k)(0≤k≤n)最大自然数k.
答案
(Ⅰ)记“该射手向甲靶射击一次并击中”为事件A,
“该射手向乙靶射击一次并击中”为事件B,
则由题意得,





P(AB)=
8
15
P(
.
A
.
B
)=
1
15

由各次射击结果互不影响得





P(A)P(B)=
8
15
P(
.
A
)P(
.
B
)=
1
15






p1p2=
8
15
(1-p1)(1-p2)=
1
15

解得p1=
4
5
p2=
2
3
.…(3分)
(Ⅱ)η的所有可能取值为0,1,2,3,6.…(4分)
记“该射手第i次射击击中目标”为事件Ai(i=1,2,3),
P(η=0)=P(
.
A1
.
A2
.
A3
)=(1-
2
3
)3=
1
27
P(η=1)=P(A1
.
A2
.
A3
+
.
A1
A2
.
A3
+
.
A1
.
A2
A3)=P(A1
.
A2
.
A3
)+P(
.
A1
A2
.
A3
)+P(
.
A1
.
A2
A3)

=
2
3
×(1-
2
3
)2+(1-
2
3
2
3
×(1-
2
3
)+(1-
2
3
)2×
2
3
=
2
9
P(η=2)=P(A1
.
A2
A3)=
2
3
×(1-
2
3
2
3
=
4
27
P(η=3)=P(A1A2
.
A3
+
.
A1
A2A3)=P(A1A2
.
A3
)+P(
.
A1
A2A3)=(
2
3
)2×(1-
2
3
)+(1-
2
3
)×(
2
3
)2=
8
27
P(η=6)=P(A1A2A3)=(
2
3
)3=
8
27

所以η的分布列为:
举一反三
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η01236
P
1
27
2
9
4
27
8
27
8
27
甲、乙两位同学都参加了本次调考,已知甲做5道填空题的正确率均为0.6,设甲做对填空题的题数为ξ,乙做对填空题的题数为η,且P(η=k)=a•25-k(k=1、2、3、4、5)(a为正常数),试分别求出ξ,η的分布列,并用数学期望来分析甲、乙两位同学解答填空题的水平.
某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A,B,C,D四个问题,规则如下:①每位参加者计分器的初始分均为10分,答对问题A,B,C,D分别加1分,2分,3分,6分,答错任意题减2分;
②每答一题,计分器显示累计分数,当累积分数小于8分时,答题结束,淘汰出局;当累积分数大于或等于14分时,答题结束,进入下一轮;答完四题累计分数不足14分时,答题结束淘汰出局;
③每位参加者按A,B,C,D顺序作答,直至答题结束.
假设甲同学对问题A,B,C,D回答正确的概率依次为
3
4
1
2
1
3
1
4
,且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率;
(Ⅱ)用ξ表示甲同学本轮答题的个数,求ξ的分布列和数学期望Eξ.
某班学生春假需要选择春游线路,已知甲寝室与乙寝室各有6位同学,每人选择一条线路.甲寝室选择去乌镇游玩的有1人,选择去横店游玩的有5人,乙寝室选择去乌镇游玩的有2人,选择去横店游玩的有4人,现从甲寝室、乙寝室中各任选2人分析游玩线路问题.
(Ⅰ)求选出的4人均选择游玩横店的概率;
(Ⅱ)设ξ 为选出的4个人中选择游玩乌镇的人数,求ξ 的分布列和数学期望Eξ
一个口袋中有4个白球,2个黑球,每次从袋中取出一个球.
(1)若有放回的取2次球,求第二次取出的是黑球的概率;
(2)若不放回的取2次球,求在第一次取出白球的条件下,第二次取出的是黑球的概率;
(3)若有放回的取3次球,求取出黑球次数X的分布列及E(X).
已知甲同学每投篮一次,投进的概率均为
2
3

(1)求甲同学投篮4次,恰有3次投进的概率;
(2)甲同学玩一个投篮游戏,其规则如下:最多投篮6次,连续2次不中则游戏终止.设甲同学在一次游戏中投篮的次数为X,求X的分布列.