已知函数f(x)=a·lnx+b·x2在点(1,f(1))处的切线方程为x-y-1=0,(1)求f(x)的表达式;(2)若f(x)满足f(x)≥g(x)恒成立,

已知函数f(x)=a·lnx+b·x2在点(1,f(1))处的切线方程为x-y-1=0,(1)求f(x)的表达式;(2)若f(x)满足f(x)≥g(x)恒成立,

题型:山西省模拟题难度:来源:
已知函数f(x)=a·lnx+b·x2在点(1,f(1))处的切线方程为x-y-1=0,
(1)求f(x)的表达式;
(2)若f(x)满足f(x)≥g(x)恒成立,则称f(x)是g(x)的一个“上界函数”,如果函数f(x)为g(x)=-lnx(t为实数)的一个“上界函数”,求t的取值范围;
(3)当m>0时,讨论在区间(0,2)上极值点的个数。
答案
解:(1)当x=1时,y=0,代入得b=0,
所以f(x)=alnx,
由切线方程知f′(1)=0,所以a=1,故f(x)=lnx。
(2)f(x)≥g(x)恒成立,即恒成立,
因为x>0,所以t≤2xlnx,
令h(x)=2xlnx,
时,h′(x)<0,所以h(x)在为减函数;
时,h′(x)>0,所以h(x)在为增函数;
h(x)的最小值为,故
(3)由已知

又x>0,由F′(x)=0得,
①当时,得m=1,F′(x)≥0,F(x)在(0,2)为增函数,无极值点;
②当时,得且m≠1,F(x)有2个极值点;
③当时,得或m≥2时,F(x)有1个极值点;
综上,当m=1时,函数F(x)在(0,2)无极值点;当或m≥2时,F(x)有1个极值点;
且m≠1时,F(x)有2个极值点.
举一反三
已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R)。
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x-y-3=0求实数a的值;
(2)求证:f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1;
(3)若a<0且对任意x1, x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4||,求实数a的取值范围。
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已知函数f(x)=x3-3x2+a,若f(x+1)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,a)处的切线方程是[     ]
A.x=0
B.x=2
C.y=2
D.y=4
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曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为[     ]
A.e2
B.2e2
C.e2
D.
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如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=(    )。
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已知函数f(x)=x3-x2+ax+b的图象在点P(0,f(0))处的切线是3x-y-2=0。
(1)求a,b的值;
(2)设t∈[-2,-1],函数g(x)=f(x)+(m-3)x在(t,+∞)上为增函数,求m的取值范围。

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