设函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0),(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,求a,b的值;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值点
题型:北京高考真题难度:来源:
设函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0), (Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,求a,b的值; (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值点. |
答案
解:(I)f′(x)=3x2-3a, 因为曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切, 所以 ,即 , 解得a=4,b=24. (Ⅱ)f′(x)=3(x2-a)(a≠0), 当a<0时,f′(x)>0,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,此时函数f(x)没有极值点; 当a>0时,由f′(x)=0,得x=± , 当 时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增; 当 时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减; 当 时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增, 此时x=- 是f(x)的极大值点,x= 是f(x)的极小值点。 |
举一反三
已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R), (Ⅰ)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值; (Ⅱ)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围。 |
已知点P在曲线 上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是 |
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A.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018011537-22973.gif) B.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018011537-65926.gif) C.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018011537-42718.gif) D.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018011537-45893.gif) |
曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 |
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A.30° B.45° C.60° D.120° |
设直线y= x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线,则实数b的值为( )。 |
已知曲线Cn:y=nx2,点Pn(xn,yn)(xn>0,yn>0)是曲线Cn上的点(n=l,2,…)。 (I)试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程,并求出ln与y轴的交点Qn的坐标; (Ⅱ)若原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值,试求点Pn的坐标(xn,yn); (Ⅲ)设m与k为两个给定的不同的正整数,xn与yn是满足(Ⅱ)中条件的点Pn的坐标, 证明:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018011520-46961.gif) (s=1,2,…)。 |
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