已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ex,g(x)=3e2lnx+b(其中e为常数,e=2.718 28…),若这两个函数的图象有公共点,且在该点处的切
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已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ex,g(x)=3e2lnx+b(其中e为常数,e=2.718 28…),若这两个函数的图象有公共点,且在该点处的切
题型:山东省期末题
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来源:
已知定义在正实数集上的函数f(x)=
x
2
+2ex,g(x)=3e
2
lnx+b(其中e为常数,e=2.718 28…),若这两个函数的图象有公共点,且在该点处的切线相同,
(Ⅰ)求实数b的值;
(Ⅱ)当x∈[
,e]时,
恒成立,求实数a的取值范围。
答案
解:(Ⅰ)
,
设函数
与
的图象有公共点为
,
由题意,得
,
解得:
。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
,
所以,
,
即
,①
当
时,lnx<0,∴x-lnx>0,
当
时,lnx≤1≤x,且等号不能同时成立,
∴x-lnx>0,
所以,则由①式可得
在[
,e]上恒成立,
设
,
又
,
令
,得x=1,
又lnx≤1,
∴
,
所以,当
时,
;
当
时,
,
所以,函数F(x)在
上为减函数,在
上为增函数,
又
,
故
,
所以,实数a的取值范围是
。
举一反三
如图,A(-1,0),B(1,0),过曲线C
1
:y=x
2
-1(|x|>1)上一点M的切线l,与曲线C
2
:
(|x|<1)也相切于点N,记点M的横坐标为t(t>1),
(Ⅰ)用t表示m的值和点N的坐标;
(Ⅱ)当实数m取何值时,∠MAB=∠NAB?并求此时MN所在直线的方程.
题型:浙江省模拟题
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|
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曲线y=2x-lnx在点(1,2)处的切线方程是( )。
题型:江苏模拟题
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|
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若曲线y=x
2
+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则
[ ]
A.a=1,b=1
B.a=-1,b=1
C.a=1,b=-1
D.a=-1,b=-1
题型:高考真题
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|
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曲线y=x
3
-2x+1在点(1,0)处的切线方程为
[ ]
A.y=x-1
B.y=-x+1
C.y=2x-2
D.y=-2x+2
题型:高考真题
难度:
|
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已知函数f(x)=ax
3
-
x
2
+1(x∈R),其中a>0,
(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(Ⅱ)若在区间
上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
题型:天津高考真题
难度:
|
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