已知函数f（x）是定义在R上的单调函数满足f（﹣3）=2，，且对任意的实数a∈R有f（﹣a）+f（a）=0恒成立． （1）试判断f（x）在R上的单调性，并说明理

题型：山东省期末题难度：来源：

已知函数f（x）是定义在R上的单调函数满足f（﹣3）=2，，且对任意的实数a∈R有f（﹣a）+f（a）=0恒成立．
（1）试判断f（x）在R上的单调性，并说明理由；
（2）解关于x的不等式．

答案

解：（1）结论：f（x）是R上的减函数．理由如下
∵对任意的实数a∈R有f（﹣a）+f（a）=0
∴f（﹣a）=﹣f（a）对任意的实数a∈R成立，
可得函数f（x）是定义在R上的奇函数，
取x=0，得f（0）=0
∵f（x）在R上是单调函数，f（﹣3）=2＞0=f（0）
∴f（x）为R上的减函数．
（2）由f（﹣3）=2，不等式等价于
又∵f（x）为R上的减函数，
∴原不等式可化为：
整理得：，解之得：x＜﹣1或x＞0
∴不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．