设函数f(x)=x2+2x+kln x,其中k≠0.(1)当k>0时,判断f(x)在(0,+∞)上的单调性;(2)讨论f(x)的极值点.
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设函数f(x)=x2+2x+kln x,其中k≠0. (1)当k>0时,判断f(x)在(0,+∞)上的单调性; (2)讨论f(x)的极值点. |
答案
(1)f(x)在(0,+∞)上单调递增 (2)x0是f(x)唯一的极小值点 见解析 |
解析
f′(x)=x+2+. (1)当k>0时,f′(x)=x+2+>0在(0,+∞)恒成立, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增. (2)函数f(x)的定义域为(0,+∞), 令f′(x)==0, 得(x+1)2=1-k>(0+1)2=1, 所以当k>0时,f′(x)=0在(0,+∞)没有根,f(x)没有极值点; 当k<0时,f′(x)=0在(0,+∞)有唯一根x0=-1, 因为在(0,x0)上f′(x)<0,在(x0,+∞)上f′(x)>0, 所以x0是f(x)唯一的极小值点. |
举一反三
已知函数f(x)= (a∈R). (1)求f(x)的极值; (2)若函数f(x)的图象与函数g(x)=1的图象在区间(0,e2]上有公共点,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+ln x. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当a>0时,若f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求a的取值范围; (3)若对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立,求a的取值范围. |
已知,则= . |
下列函数求导运算正确的个数为( ) ①(3x)′=3xlog3e;②(log2x)′=;③(ex)′=ex;④()′=x;⑤(x·ex)′=ex+1. |
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