设函数f（x）=x2-2x+alnx．（1）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；（2）求函数f（x）的极值点．
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设函数f（x）=x2-2x+alnx．
（1）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）的极值点． |
答案
（1）f′(x)=2x-2+=，
若函数f（x）是定义域上的单调函数，则只能f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即2x2-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立恒成立，
令g（x）=2x2-2x+a，则函数g（x）图象的对称轴方程是x=，
故只要△=4-8a≤0恒成立，即只要a≥．
（2）有（1）知当a≥时，f′（x）=0的点是导数不变号的点，
故a≥时，函数无极值点；
当a＜时，f"（x）=0的根是x1=，x2=，
若a≤0，≥1，此时x1≤0，x2＞0，且在（0，x2）上f′（x）＜0，
在（x2，+∞）上f"（x）＞0，故函数f（x）有唯一的极小值点x2=；
当0＜a＜时，0＜＜1，
此时x1＞0，x2＞0，f′（x）在（0，x1），（x2，+∞）都大于0，f′（x）在（x1，x2）上小于0，
此时f（x）有一个极大值点x1=和一个极小值点x2=．
综上可知，a≤0时，f（x）在（0，+∞）上有唯一的极小值点x2=；
0＜a＜时，f（x）有一个极大值点x1=和一个极小值点x2=；
a≥时，函数f（x）在（0，+∞）上无极值点． |
举一反三
已知函数f(x)=x3+mx2-3m2+1（m＞0）．
（Ⅰ）若m=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（2m-1，m+1）上单调递增，求实数m的取值范围． |
已知函数f（x）=x3-ax2-3x
（1）若x=-是f（x）的极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值；
（2）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围． |
已知函数f(x)=x3+(p-1)x2+qx(p，q为常数）
（1）若f（x）在（x1，x2）上单调递减，在（-∞，x1）和（x2，+∞）上单调递增，且x2-x1＞1，求证：p2＞2（p+2q）；
（2）若f（x）在x=1和x=3处取得极值，且在x∈[-6，6]时，函数y=f（x）的图象在直线l：15x-y+c=0的下方，求c的取值范围？ |
已知函数f（x）=x2+alnx．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若g(x)=f(x)+在[1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围． |
| 函数y=x2-lnx的单调递减区间为______． |
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