设函数f(x)=x2-2x+alnx.(1)若函数f(x)是定义域上的单调函数,求实数a的取值范围;(2)求函数f(x)的极值点.

设函数f(x)=x2-2x+alnx.(1)若函数f(x)是定义域上的单调函数,求实数a的取值范围;(2)求函数f(x)的极值点.

题型:不详难度:来源:
设函数f(x)=x2-2x+alnx.
(1)若函数f(x)是定义域上的单调函数,求实数a的取值范围;
(2)求函数f(x)的极值点.
答案
(1)f′(x)=2x-2+
a
x
=
2x2-2x+a
x

若函数f(x)是定义域上的单调函数,则只能f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
即2x2-2x+a≥0在(0,+∞)上恒成立恒成立,
令g(x)=2x2-2x+a,则函数g(x)图象的对称轴方程是x=
1
2

故只要△=4-8a≤0恒成立,即只要a≥
1
2

(2)有(1)知当a≥
1
2
时,f′(x)=0的点是导数不变号的点,
a≥
1
2
时,函数无极值点;
a<
1
2
时,f"(x)=0的根是x1=
1-


1-2a
2
x2=
1+


1-2a
2

若a≤0,


1-2a
≥1
,此时x1≤0,x2>0,且在(0,x2)上f′(x)<0,
在(x2,+∞)上f"(x)>0,故函数f(x)有唯一的极小值点x2=
1+


1-2a
2

0<a<
1
2
时,0<


1-2a
<1

此时x1>0,x2>0,f′(x)在(0,x1),(x2,+∞)都大于0,f′(x)在(x1,x2)上小于0,
此时f(x)有一个极大值点x1=
1-


1-2a
2
和一个极小值点x2=
1+


1-2a
2

综上可知,a≤0时,f(x)在(0,+∞)上有唯一的极小值点x2=
1+


1-2a
2

0<a<
1
2
时,f(x)有一个极大值点x1=
1-


1-2a
2
和一个极小值点x2=
1+


1-2a
2

a≥
1
2
时,函数f(x)在(0,+∞)上无极值点.
举一反三
已知函数f(x)=
1
3
x3+mx2-3m2+1
(m>0).
(Ⅰ)若m=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间(2m-1,m+1)上单调递增,求实数m的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x3-ax2-3x
(1)若x=-
1
3
是f(x)的极值点,求f(x)在[1,a]上的最大值;
(2)若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
1
3
x3+
1
2
(p-1)x2+qx(p,q
为常数)
(1)若f(x)在(x1,x2)上单调递减,在(-∞,x1)和(x2,+∞)上单调递增,且x2-x1>1,求证:p2>2(p+2q);
(2)若f(x)在x=1和x=3处取得极值,且在x∈[-6,6]时,函数y=f(x)的图象在直线l:15x-y+c=0的下方,求c的取值范围?
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x2+alnx.
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若g(x)=f(x)+
2
x
在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.
题型:花都区模拟难度:| 查看答案
函数y=
1
2
x2-lnx
的单调递减区间为______.
题型:不详难度:| 查看答案
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