试题分析:(1)易得,且有,当且仅当时取等号,当时,,当时,由,得,所以数列是以为首项,以1为公差的等差数列,继而得,经检验,所以; 在范围内恒成立,等价于成立,令 ,即成立,,令,得,分和两种情况讨论,分别求出的最小值,继而求出的取值范围; (3)由题设知:,,比较结果为:,证明如下:上述不等式等价于 在(2)中取,可得,令,则,即,使用累加法即可证明结论. 试题解析:,, (1) ,,,,即,当且仅当时取等号 当时, 当时
,,即 数列是以为首项,以1为公差的等差数列
当时,
(2)在范围内恒成立,等价于成立 令,即恒成立,
令,即,得 当即时,在上单调递增
所以当时,在上恒成立; 当即时,在上单调递增,在上单调递减, 所以 设
因为,所以,即,所以函数在上单调递减 所以,即 所以不恒成立 综上所述,实数的取值范围为 (3)由题设知:,
比较结果为: 证明如下: 上述不等式等价于 在(2)中取,可得 令,则,即 故有
上述各式相加可得: 结论得证. |