已知函数f(x)=x2-1与函数g(x)=aln x(a≠0).(1)若f(x),g(x)的图像在点(1,0)处有公共的切线,求实数a的值;(2)设F(x)=f
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已知函数f(x)=x2-1与函数g(x)=aln x(a≠0). (1)若f(x),g(x)的图像在点(1,0)处有公共的切线,求实数a的值; (2)设F(x)=f(x)-2g(x),求函数F(x)的极值. |
答案
(1)a=2. (2)见解析 |
解析
解:(1)因为f(1)=0,g(1)=0, 所以点(1,0)同时在函数f(x),g(x)的图像上, 因为f(x)=x2-1,g(x)=aln x, 所以f′(x)=2x,g′(x)=, 由已知,得f′(1)=g′(1),所以2=,即a=2. (2)因为F(x)=f(x)-2g(x)=x2-1-2aln x(x>0), 所以F′(x)=2x-=, 当a<0时, 因为x>0,且x2-a>0,所以F′(x)>0对x>0恒成立, 所以F(x)在(0,+∞)上单调递增,F(x)无极值; 当a>0时, 令F′(x)=0,解得x1=,x2=- (舍去), 所以当x>0时,F′(x),F(x)的变化情况如下表:
x
| (0,)
|
| (,+∞)
| F′(x)
| -
| 0
| +
| F(x)
| 递减
| 极小值
| 递增
| 所以当x=时,F(x)取得极小值,且F()=()2-1-2aln=a-1-aln a. 综上,当a<0时,函数F(x)在(0,+∞)上无极值; 当a>0时,函数F(x)在x=处取得极小值a-1-aln a. |
举一反三
已知函数f(x)=ax-ln x,g(x)=,它们的定义域都是(0,e],其中e是自然对数的底e≈2.7,a∈R. (1)当a=1时,求函数f(x)的最小值; (2)当a=1时,求证:f(m)>g(n)+对一切m,n∈(0,e]恒成立; (3)是否存在实数a,使得f(x)的最小值是3?如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由. |
已知函数. (1)当时,讨论函数的单调性; (2)当时,在函数图象上取不同两点A、B,设线段AB的中点为,试探究函数在Q点处的切线与直线AB的位置关系? (3)试判断当时图象是否存在不同的两点A、B具有(2)问中所得出的结论. |
若函数是R上的单调函数,则实数m的取值范围是( )。 |
已知曲线 y = x3 + x-2 在点 P0 处的切线 平行直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限, 求P0的坐标; ⑵若直线 , 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程. |
已知函数,函数 ⑴当时,求函数的表达式; ⑵若,函数在上的最小值是2 ,求的值; (3)⑵的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积. |
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