已知函数f(x)=x2-(1+2a)x+aln x(a为常数).(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在x=1处切线的方程;(2)当a>0时,讨论函数y=
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已知函数f(x)=x2-(1+2a)x+aln x(a为常数).(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在x=1处切线的方程;(2)当a>0时,讨论函数y=
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=x
2
-(1+2a)x+aln x(a为常数).
(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在x=1处切线的方程;
(2)当a>0时,讨论函数y=f(x)在区间(0,1)上的单调性,并写出相应的单调区间.
答案
(1)y=2x.
(2)函数f(x)的单调增区间是
,单调减区间是
.
解析
解:(1)当a=-1时,f(x)=x
2
+x-ln x,
则f′(x)=2x+1-
,
所以f(1)=2,且f′(1)=2.
所以曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程为
y-2=2(x-1),即y=2x.
(2)由题意得f′(x)=2x-(1+2a)+
=
=
(x>0).
由f′(x)=0,得x
1
=
,x
2
=a.
①当0<a<
时,由f′(x)>0且x>0,
得0<x<a或
<x<1;
由f′(x)<0且x>0,得a<x<
.
所以函数f(x)的单调递增区间是(0,a)和
,单调递减区间是
;
②当a=
时,f′(x)=
≥0,当且仅当x=
时,
f′(x)=0.
所以函数f(x)在区间(0,1)上是单调递增函数;
③当
<a<1时,由f′(x)>0且x>0,
得0<x<
或a<x<1;
由f′(x)<0且x>0,得
<x<a.
所以函数f(x)的单调递增区间是
和(a,1),单调递减区间是
;
④当a≥1时,由f′(x)>0且x>0,
得0<x<
;
由f′(x)<0且x>0,得
<x<1.
所以函数f(x)的单调增区间是
,单调减区间是
.
举一反三
已知函数f(x)=x
2
-1与函数g(x)=aln x(a≠0).
(1)若f(x),g(x)的图像在点(1,0)处有公共的切线,求实数a的值;
(2)设F(x)=f(x)-2g(x),求函数F(x)的极值.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=ax-ln x,g(x)=
,它们的定义域都是(0,e],其中e是自然对数的底e≈2.7,a∈R.
(1)当a=1时,求函数f(x)的最小值;
(2)当a=1时,求证:f(m)>g(n)+
对一切m,n∈(0,e]恒成立;
(3)是否存在实数a,使得f(x)的最小值是3?如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
.
(1)当
时,讨论函数
的单调性;
(2)当
时,在函数
图象上取不同两点A、B,设线段AB的中点为
,试探究函数
在Q
点处的切线与直线AB的位置关系?
(3)试判断当
时
图象是否存在不同的两点A、B具有(2)问中所得出的结论.
题型:不详
难度:
|
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若函数
是R上的单调函数,则实数m的取值范围是( )。
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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|
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已知曲线 y = x
3
+ x-2 在点 P
0
处的切线
平行直线
4x-y-1=0,且点 P
0
在第三象限,
求P
0
的坐标; ⑵若直线
, 且 l 也过切点P
0
,求直线l的方程.
题型:不详
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|
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