试题分析:(1)由函数 ,求函数 的导数,并计算 即所求切线方程的斜率,又过点 .即可求出结论. (2)(ⅰ)由(1)得到的函数 的导数,即可求出函数的单调区间,从而得到函数的极值点,即得到 的值. (ⅱ)需求证:点 , , 是三个不同的点,通过分类每两个点重合,利用已知条件即方程的根的个数来判定即可得到三点是不同点的点.通过向量的数量积可得到三点可构成直角三角形. (1) , 2分
,又 , 4分 所以曲线 在 处的切线方程为 , 即 . 5分 (2)(ⅰ)对于 ,定义域为 . 当 时, , ,∴ ; 当 时, ; 当 时, , ,∴ , 8分 所以 存在唯一的极值点 ,∴ ,则点 为 . 9分 (ⅱ)若 ,则 , , 与条件 不符,从而得 . 同理可得 . 10分 若 ,由![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018022351-29221.png) ,此方程无实数解, 从而得 . 11分 由上可得点 , , 两两不重合. 又![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018022352-55838.png)
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