(1)由知,,而,且,则为的一个零点,且在内有零点,因此至少有两个零点 解法1:,记,则。 当时,,因此在上单调递增,则在内至多只有一个零点。又因为,则在内有零点,所以在内有且只有一个零点。记此零点为,则当时,;当时,; 所以, 当时,单调递减,而,则在内无零点; 当时,单调递增,则在内至多只有一个零点; 从而在内至多只有一个零点。综上所述,有且只有两个零点。 解法2:,记,则。 当时,,因此在上单调递增,则在内至多只有一个零点。因此在内也至多只有一个零点, 综上所述,有且只有两个零点。 (2)记的正零点为,即。 (1)当时,由,即.而,因此,由此猜测:。下面用数学归纳法证明: ①当时,显然成立; ②假设当时,有成立,则当时,由 知,,因此,当时,成立。 故对任意的,成立。 (2)当时,由(1)知,在上单调递增。则,即。从而,即,由此猜测:。下面用数学归纳法证明: ①当时,显然成立; ②假设当时,有成立,则当时,由 知,,因此,当时,成立。 故对任意的,成立。 综上所述,存在常数,使得对于任意的,都有. |