试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性及最值问题等数学知识,考查学生的转化能力、分析问题解决问题的能力和计算能力,考查分类讨论思想.第一问,将代入确定的解析式,先求函数的定义域,这是解题的前题,函数只有一个零点等价于图像与x轴只有一个交点,对求导,利用,判断函数的增减区间,判断出当时,,从而证明出图像与x轴只有一个交点;第二问,对中的参数a进行讨论,当时,与题干矛盾,当时,得到的减区间为,由题干分析可知,是的子集,所以得到和1的大小关系,当时,同理得到与1的大小,从而综合上述情况得到a的取值范围. 试题解析:(1)当a=1时,f(x)=lnx-x2+x,其定义域是(0,+∞), 又, 令f′(x)=0,即,解得或x=1.又x>0,∴x=1. 当0<x<1时,f′(x)>0;当x>1时,f′(x)<0. ∴函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减. ∴当x=1时,函数f(x)取得最大值,其值为f(1)=ln1-12+1=0. 当x≠1时,f(x)<f(1),即f(x)<0. ∴函数f(x)只有一个零点.(7分) (2)显然函数f(x)=lnx-a2x2+ax的定义域为(0,+∞), ∴. ①当a=0时,,∴f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,不合题意; ②当a>0时,f′(x)<0,得,∴,即a≥1; ③当a<0时,f′(x)<0,得,∴,a≤-2. 综上,实数a的取值范围是.(14分) |